Insiemi compatti
Stai attento alle topologie indotte dalla metrica, e tutto dovrebbe tornarti. Il fatto che un insieme sia aperto o no e' legato a che topologia metti sullo spazio.
cioa, Luca.
cioa, Luca.
Risposte
Io conosco la seguente definizione generale di compattezza che vale per ogni spazio metrico.
"uno spazio metrico (X;d) si dice compatto se è completo e totalmente limitato"
Uno spazio è completo se tutte le successioni di Cauchy sono ivi convergenti. La definizione di limitatezza totale la ometto ma ha a che fare col discorso dei ricoprimenti finiti.
Il tuo insieme A è evidentemente non completo per cui non è compatto.
S.E.e.O.
ps. spazi topologici, metrici, vettoriali, normati, dotati di prodotto interno ... non sono queste le parti più belle della matematica ?
"uno spazio metrico (X;d) si dice compatto se è completo e totalmente limitato"
Uno spazio è completo se tutte le successioni di Cauchy sono ivi convergenti. La definizione di limitatezza totale la ometto ma ha a che fare col discorso dei ricoprimenti finiti.
Il tuo insieme A è evidentemente non completo per cui non è compatto.
S.E.e.O.
ps. spazi topologici, metrici, vettoriali, normati, dotati di prodotto interno ... non sono queste le parti più belle della matematica ?
La definizione di distanza in uno spazio metrico esula dalla natura degli elementi dello spazio stesso.
La distanza deve solo soddisfare 4 requisiti molto generali.
Si hanno spazi metrici di successioni, funzioni ecc.
Esempio :
Sia C[a b] l’insieme delle funzioni numeriche reali continue su [a,b].
Una metrica su C[a,b] è :
d(f,g) = max|f-g| su [a,b]
dove f e g appartengono a C[a,b].
Un'altra metrica su C[a,b] è :
d(f,g) =
[a,b]|f(x)-g(x)|dx .
Ecc. ecc.
Bye.
La distanza deve solo soddisfare 4 requisiti molto generali.
Si hanno spazi metrici di successioni, funzioni ecc.
Esempio :
Sia C[a b] l’insieme delle funzioni numeriche reali continue su [a,b].
Una metrica su C[a,b] è :
d(f,g) = max|f-g| su [a,b]
dove f e g appartengono a C[a,b].
Un'altra metrica su C[a,b] è :
d(f,g) =
[a,b]|f(x)-g(x)|dx .Ecc. ecc.
Bye.
Allora: la compattezza e', per sua natura, una proprieta' topologica, ovvero dipende solo dalla topologia messa sullo spazio, che quindi non deve essere perforza metrico, ma basta uno spazio topologico.
Uno spazio topologico si dice compatto se ogni ricoprimento costituito da insiemi aperti, ha un sottoricoprimento finito (attenzione: OGNI ricoprimento deve avere il sottoricoprimento finito!).
Se un sottoinsieme di uno spazio metrico e' compatto (rispetto alla topologia indotta dalla metrica) allora e' chiuso e limitato.
Se uno spazio topologico e' a base numerabile (esempio: sp.metrico)
allora la compattezza e' equivalente alla cosidetta compattezza sequenziale (o per successioni): uno spazio topologico si dice sequenzialmente compatto se ogni successione limitata ha un'estratta convergente.
Ripeto: le due definizioni di compattezza si equivalgono solo se lo spazio e' a base numerabile.
C'e' poi il caso particolare dello spazio euclideo, ovvero dello spazio (metrico) vettoriale R^n (o C^n) di dimensione finita n.
Allora qui un sottoinsieme e' compatto (rispetto alla topologia indotta dalla metrica euclidea) se e solo se e' chiuso e limitato.
Negli spazi normati di dimensione infinita, rimane vero, come gia' detto, che un compatto e' chiuso e limitato. Ma non e' in generale vero che valga il viceversa. Anzi, si dimostra che esiste un compatto a parte interna non vuota se e solo se lo spazio normato dato ha dimensione finita. Questo giustifica pesantemente il fatto che, quando uno lavora con spazi di dimensione infinita, non usa mai la compattezza cosidetta "forte", ovvero quella rispetto alla topologia "forte", indotta cioe' dalla norma.
In questi casi si cambia topologia; si hanno le topologie "deboli", topologie piu' povere di aperti, con il risultato che si hanno piu' compatti rispetto a tali topologie.
Ciao, Luca.
Uno spazio topologico si dice compatto se ogni ricoprimento costituito da insiemi aperti, ha un sottoricoprimento finito (attenzione: OGNI ricoprimento deve avere il sottoricoprimento finito!).
Se un sottoinsieme di uno spazio metrico e' compatto (rispetto alla topologia indotta dalla metrica) allora e' chiuso e limitato.
Se uno spazio topologico e' a base numerabile (esempio: sp.metrico)
allora la compattezza e' equivalente alla cosidetta compattezza sequenziale (o per successioni): uno spazio topologico si dice sequenzialmente compatto se ogni successione limitata ha un'estratta convergente.
Ripeto: le due definizioni di compattezza si equivalgono solo se lo spazio e' a base numerabile.
C'e' poi il caso particolare dello spazio euclideo, ovvero dello spazio (metrico) vettoriale R^n (o C^n) di dimensione finita n.
Allora qui un sottoinsieme e' compatto (rispetto alla topologia indotta dalla metrica euclidea) se e solo se e' chiuso e limitato.
Negli spazi normati di dimensione infinita, rimane vero, come gia' detto, che un compatto e' chiuso e limitato. Ma non e' in generale vero che valga il viceversa. Anzi, si dimostra che esiste un compatto a parte interna non vuota se e solo se lo spazio normato dato ha dimensione finita. Questo giustifica pesantemente il fatto che, quando uno lavora con spazi di dimensione infinita, non usa mai la compattezza cosidetta "forte", ovvero quella rispetto alla topologia "forte", indotta cioe' dalla norma.
In questi casi si cambia topologia; si hanno le topologie "deboli", topologie piu' povere di aperti, con il risultato che si hanno piu' compatti rispetto a tali topologie.
Ciao, Luca.
Ciao Sergio. Mi fa molto piacere che un non matematico voglia studiare la Topologia, nella quale si trovano (come vedrai) le vere fondamenta dell'Analisi Matematica.
Io ti consiglio, per cominciare, il Sernesi 2, usato dai corsi di laurea in Matematica per il corso di Geometria 2. Li' trovi un'esposizione elementare ma abbastanza completa sulle fondamenta della topologia generale. Poi, piu' avanti nello stesso libro, puoi anche fare un po' di topologia differenziale... molto bella, se ti piace, come piace molto anche a me, l'intersezione tra Analisi e Geometria.
Piu' aventi puoi anche studiare un po' di topologia algebrica... che e' stavolta pura geometria.
Quanto al sottoinsieme di Q dato da 20) l'insieme dei razionali contenuti nell'intervallo (\sqrt(2),\sqrt(3)), giusto? (\sqrt=radice quadrata); ora i due estremi dell'intervallo sono irrazionali, e quindi li puoi approssimare (dall'interno, per esempio) con una successione di razionali. Quindi hai trovato, per esempio, una successione nel tuo insieme che non converge!, perche' essa converge a \sqrt(2), che non sta nell'insieme. E questo ti fa cadere la compattezza sequenziale, che in uno spazio metrico equivale alla compattezza.
Per verificare la compattezza (o la mancanza di essa) ti conviene sempre usare la compattezza sequenziale. E' molto piu' operativa della definizione...
Ciao, Luca.
Io ti consiglio, per cominciare, il Sernesi 2, usato dai corsi di laurea in Matematica per il corso di Geometria 2. Li' trovi un'esposizione elementare ma abbastanza completa sulle fondamenta della topologia generale. Poi, piu' avanti nello stesso libro, puoi anche fare un po' di topologia differenziale... molto bella, se ti piace, come piace molto anche a me, l'intersezione tra Analisi e Geometria.
Piu' aventi puoi anche studiare un po' di topologia algebrica... che e' stavolta pura geometria.
Quanto al sottoinsieme di Q dato da 2
Per verificare la compattezza (o la mancanza di essa) ti conviene sempre usare la compattezza sequenziale. E' molto piu' operativa della definizione...
Ciao, Luca.
Allora, si ha
(\sqrt(2),\sqrt(3))\cap Q = [\sqrt(2),\sqrt(3)]\cap Q =:I
Quindi, nella topologia di Q che hai dato (che e' quella indotta da quella di R) I e' sia aperto sia chiuso. (Quando leggerai il sernesi vedrai che cio' ha a che fare con un'altra proprieta' topologica, detta connessione: infatti I non e' connesso, e nemmeno tutto Q).
Ora si potrebbe anche dire che un aperto non e' compatto e basta.
Oppure, se io chiamo
I_h=(\sqrt(2)+1/h,\sqrt(3)-1/h)\cap Q
con h naturale non nullo, allora I_h formano un ricoprimento di aperti di I. Ma se ne prendi un numero finito, allora non riesci piu' a ricoprire tutto I: ti restano fuori punti razionali "molto vicini" agli estremi dell'intervallo I.
Ciao, Luca.
(\sqrt(2),\sqrt(3))\cap Q = [\sqrt(2),\sqrt(3)]\cap Q =:I
Quindi, nella topologia di Q che hai dato (che e' quella indotta da quella di R) I e' sia aperto sia chiuso. (Quando leggerai il sernesi vedrai che cio' ha a che fare con un'altra proprieta' topologica, detta connessione: infatti I non e' connesso, e nemmeno tutto Q).
Ora si potrebbe anche dire che un aperto non e' compatto e basta.
Oppure, se io chiamo
I_h=(\sqrt(2)+1/h,\sqrt(3)-1/h)\cap Q
con h naturale non nullo, allora I_h formano un ricoprimento di aperti di I. Ma se ne prendi un numero finito, allora non riesci piu' a ricoprire tutto I: ti restano fuori punti razionali "molto vicini" agli estremi dell'intervallo I.
Ciao, Luca.
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