Insiemi chiusi, funzioni continue
Esercizio: Sia $f : RR -> RR$ continua.
1) Se $C$ è chiuso, allora $f^(-1)(C)$ è chiuso.
Idea:
In sostanza devo provare che $bar (f^(-1)(C)) = f^(-1)(C)$.
Considero $bar x in bar (f^(-1)(C))$ e costruisco una successione $(x_n)_n$ a valori in $f^(-1)(C)$ che converge a $bar x$.
Poiché la funzione è continua, $lim_n f(x_n) = f(bar x)$. Ma $y_n = f(x_n)$ è una successione a valori in $C$ convergente; ma $C$ è chiuso, quindi $f(bar x) in C$. Allora per definizione di insieme controimmagine si ha che $bar x in f^(-1)(C)$. Quindi $bar (f^(-1)(C)) subseteq f^(-1)(C)$.
Ho ragionato in maniera corretta?
1) Se $C$ è chiuso, allora $f^(-1)(C)$ è chiuso.
Idea:
In sostanza devo provare che $bar (f^(-1)(C)) = f^(-1)(C)$.
Considero $bar x in bar (f^(-1)(C))$ e costruisco una successione $(x_n)_n$ a valori in $f^(-1)(C)$ che converge a $bar x$.
Poiché la funzione è continua, $lim_n f(x_n) = f(bar x)$. Ma $y_n = f(x_n)$ è una successione a valori in $C$ convergente; ma $C$ è chiuso, quindi $f(bar x) in C$. Allora per definizione di insieme controimmagine si ha che $bar x in f^(-1)(C)$. Quindi $bar (f^(-1)(C)) subseteq f^(-1)(C)$.
Ho ragionato in maniera corretta?
Risposte
Ok. Vuoi provare a dimostrare che vale il viceversa? Ovvero, se $f^{-1}(C)$ è chiuso per ogni chiuso $C$ allora $f$ è continua.
"dissonance":
Ok. Vuoi provare a dimostrare che vale il viceversa? Ovvero, se $f^{-1}(C)$ è chiuso per ogni chiuso $C$ allora $f$ è continua.
Vale questo viceversa?
Si, certo. Infatti vale questa caratterizzazione delle funzioni continue che è un caposaldo della matematica moderna estremamente importante:
Sia data $f: RR \to RR$[size=75](*)[/size]. Le seguenti proposizioni sono equivalenti:
[list=1][*:1kzhq87t]$f$ è continua;[/*:m:1kzhq87t]
[*:1kzhq87t]per ogni aperto $A$, $f^{-1}(A)$ è aperto;[/*:m:1kzhq87t]
[*:1kzhq87t]per ogni chiuso $C$, $f^{-1}(C)$ è chiuso. [/*:m:1kzhq87t][/list:o:1kzhq87t]Prova a dimostrare, usando la caratterizzazione di chiusura e continuità per successioni, che 3 implica 1. Ti servirà questo lemma:
Siano $(y_n)$ una successione reale e $y$ un numero reale tali che ogni estratta di $y_n$ ha a sua volta una estratta convergente ad $y$. Allora $y_n$ converge ad $y$.
Suggerimento per dimostrare $3 =>1$: prendi una successione $x_n$ convergente ad $x$, devi dimostrare che $f(x_n) to f(x)$. Per ogni estratta $x_{k_n}$ considera l'insieme chiuso $C=bar{{f(x_{k_n}) \|\ n \in NN\}}$.
_________________
(*) La cosa importante è che questo vale in spazi molto più generali, ed è il punto di partenza della topologia generale.
Sia data $f: RR \to RR$[size=75](*)[/size]. Le seguenti proposizioni sono equivalenti:
[list=1][*:1kzhq87t]$f$ è continua;[/*:m:1kzhq87t]
[*:1kzhq87t]per ogni aperto $A$, $f^{-1}(A)$ è aperto;[/*:m:1kzhq87t]
[*:1kzhq87t]per ogni chiuso $C$, $f^{-1}(C)$ è chiuso. [/*:m:1kzhq87t][/list:o:1kzhq87t]Prova a dimostrare, usando la caratterizzazione di chiusura e continuità per successioni, che 3 implica 1. Ti servirà questo lemma:
Siano $(y_n)$ una successione reale e $y$ un numero reale tali che ogni estratta di $y_n$ ha a sua volta una estratta convergente ad $y$. Allora $y_n$ converge ad $y$.
Suggerimento per dimostrare $3 =>1$: prendi una successione $x_n$ convergente ad $x$, devi dimostrare che $f(x_n) to f(x)$. Per ogni estratta $x_{k_n}$ considera l'insieme chiuso $C=bar{{f(x_{k_n}) \|\ n \in NN\}}$.
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(*) La cosa importante è che questo vale in spazi molto più generali, ed è il punto di partenza della topologia generale.
2) Se $C$ è limitato, allora $f(C)$ è limitato.
Mi interessava questo, piuttosto.
Idea:
Per assurdo: se $f(C)$ fosse illimitato, allora potrei prendere una successione $(y_n)_n$ a valori in $f(C)$ tale che $y_n -> +oo$. Usando l'assioma della scelta possiamo definire una successione $(x_n)_n$ tale che $y_n = f(x_n)$.
Ora la parte più dubbia:
Per ipotesi $C$ è limitato, quindi, per il teo. di Weierstrass, posso estrarre una sottosuccessione $(x_(n_k))_k$ convergente ad $bar x in RR$.
(*) Se $(x_n)_n$ ha limite per $n -> +oo$, posso applicare il teo. dell'unicità del limite e scrivere la seguente catena di uguaglianze:
$f(bar x) = lim_k f(x_(n_k)) = lim_n f(x_n) = lim_n y_n = +oo$
che è assurdo.
(*) Se non avesse limite potrei comunque estrarre una sottosuccessione monotona la quale avrebbe limite finito, attesa la limitatezza di $C$.
Come ragionamento è giusto?
Mi interessava questo, piuttosto.
Idea:
Per assurdo: se $f(C)$ fosse illimitato, allora potrei prendere una successione $(y_n)_n$ a valori in $f(C)$ tale che $y_n -> +oo$. Usando l'assioma della scelta possiamo definire una successione $(x_n)_n$ tale che $y_n = f(x_n)$.
Ora la parte più dubbia:
Per ipotesi $C$ è limitato, quindi, per il teo. di Weierstrass, posso estrarre una sottosuccessione $(x_(n_k))_k$ convergente ad $bar x in RR$.
(*) Se $(x_n)_n$ ha limite per $n -> +oo$, posso applicare il teo. dell'unicità del limite e scrivere la seguente catena di uguaglianze:
$f(bar x) = lim_k f(x_(n_k)) = lim_n f(x_n) = lim_n y_n = +oo$
che è assurdo.
(*) Se non avesse limite potrei comunque estrarre una sottosuccessione monotona la quale avrebbe limite finito, attesa la limitatezza di $C$.
Come ragionamento è giusto?
"dissonance":
Si, certo. Infatti vale questa caratterizzazione delle funzioni continue che è un caposaldo della matematica moderna estremamente importante:
Sia data $f: RR \to RR$[size=75](*)[/size]. Le seguenti proposizioni sono equivalenti:
[list=1][*:3k2b4od9]$f$ è continua;[/*:m:3k2b4od9]
[*:3k2b4od9]per ogni aperto $A$, $f^{-1}(A)$ è aperto;[/*:m:3k2b4od9]
[*:3k2b4od9]per ogni chiuso $C$, $f^{-1}(C)$ è chiuso. [/*:m:3k2b4od9][/list:o:3k2b4od9]Prova a dimostrare, usando la caratterizzazione di chiusura e continuità per successioni, che 3 implica 1. Ti servirà questo lemma:
Siano $(y_n)$ una successione reale e $y$ un numero reale tali che ogni estratta di $y_n$ ha a sua volta una estratta convergente ad $y$. Allora $y_n$ converge ad $y$.
Suggerimento per dimostrare $3 =>1$: prendi una successione $x_n$ convergente ad $x$, devi dimostrare che $f(x_n) to f(x)$. Per ogni estratta $x_{k_n}$ considera l'insieme chiuso $C=bar{{f(x_{k_n}) \|\ n \in NN\}}$.
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(*) La cosa importante è che questo vale in spazi molto più generali, ed è il punto di partenza della topologia generale.
Grazie dell'imbeccata. Più tardi ci provo e ti faccio sapere.
"Seneca":Beh si se vuoi provare, ma solo se non toglie tempo al tuo programma di esercizi. Comunque per quanto riguarda la tua ultima dimostrazione va bene ma potevi chiudere molto prima:
Grazie dell'imbeccata. Più tardi ci provo e ti faccio sapere.
possiamo definire una successione $(x_n)_n$ tale che $y_n = f(x_n)$.Ok. Ora siccome $f$ è continua $f(x_{n_k}) =y_{n_k}to f(bar{x})$. Ma questa è una contraddizione. Perché?
Ora la parte più dubbia:
Per ipotesi $C$ è limitato, quindi, per il teo. di Weierstrass, posso estrarre una sottosuccessione $(x_(n_k))_k$ convergente ad $bar x in RR$.
"dissonance":
Comunque per quanto riguarda la tua ultima dimostrazione va bene ma potevi chiudere molto prima:
...
Ora siccome $f$ è continua $f(x_{n_k}) =y_{n_k}to f(bar{x})$. Ma questa è una contraddizione. Perché?
Perché $(y_n)_n$ è una successione divergente e l'insieme dei suoi valori ha come unico punto di accumulazione $+oo$. Quindi, partendo da $y_n$, posso costruire solamente sottosuccessioni divergenti. E' giusto?
Si è giusto, certo detto in modo un po' complicato! 
Bastava dire: una successione estratta da una successione divergente è divergente. Comunque il concetto è corretto, si.
Bastava dire: una successione estratta da una successione divergente è divergente. Comunque il concetto è corretto, si.
In effetti... Grazie mille. 
3) $Rightarrow$ 1)
Dim:
$AA x_n -> bar x$, considero una sottosuccessione $(x_(n_k))_k$ : ovviamente è $x_(n_k) -> bar x$.
Sfrutto l'altro tuo suggerimento e prendo come chiuso $C$ il seguente insieme: $C = bar{{f(x_{k_n}) \|\ n \in NN\}}$
$f^(-1)(C)$ è chiuso per ipotesi, quindi $x_(n_k) -> bar x in f^(-1)(C)$. Dunque $bar x$ ha il trasformato che giace in $C$, cioè $f(bar x) in C$ (per def. di insieme controimmagine).
$y_n = f(x_n)$ ha come successione estratta $y_(k_n) = f(x_{k_n})$ (che è arbitraria, credo); da quest'ultima posso estrarre una sottosuccessione che converge a $f(bar x)$ (perché $f(bar x)$ è aderente a $C$). Usando il lemma si conclude che $ f(x_n) -> f (bar x )$.
Può essere giusta?
EDIT: L'ho scritta un po' meglio.
Dim:
$AA x_n -> bar x$, considero una sottosuccessione $(x_(n_k))_k$ : ovviamente è $x_(n_k) -> bar x$.
Sfrutto l'altro tuo suggerimento e prendo come chiuso $C$ il seguente insieme: $C = bar{{f(x_{k_n}) \|\ n \in NN\}}$
$f^(-1)(C)$ è chiuso per ipotesi, quindi $x_(n_k) -> bar x in f^(-1)(C)$. Dunque $bar x$ ha il trasformato che giace in $C$, cioè $f(bar x) in C$ (per def. di insieme controimmagine).
$y_n = f(x_n)$ ha come successione estratta $y_(k_n) = f(x_{k_n})$ (che è arbitraria, credo); da quest'ultima posso estrarre una sottosuccessione che converge a $f(bar x)$ (perché $f(bar x)$ è aderente a $C$). Usando il lemma si conclude che $ f(x_n) -> f (bar x )$.
Può essere giusta?
EDIT: L'ho scritta un po' meglio.
Esatto. Complimenti. Ti stai impratichendo rapidamente con queste cose. Fai bene: sono tecniche che si usano sempre.
"dissonance":
Esatto. Complimenti. Ti stai impratichendo rapidamente con queste cose. Fai bene: sono tecniche che si usano sempre.
Grazie dell'anticipazione, allora.
"dissonance":
Siano $(y_n)$ una successione reale e $y$ un numero reale tali che ogni estratta di $y_n$ ha a sua volta una estratta convergente ad $y$. Allora $y_n$ converge ad $y$.
Tanto vale provare a dimostrare anche il lemma.
Distinguiamo 3 casi:
1) Se fosse divergente non esisterebbe nessuna sottosuccessione estratta da cui si può estrarre una sottosuccessione convergente.
2) Se $y_n$ non avesse limite per $n -> oo$ esisterebbero almeno due sottosuccessioni convergenti a limiti diversi $y_(n_(k_1)) -> y_1 , y_(n_(k_2)) -> y_2 $. Quindi non esistono due sottosuccessioni (una di $y_(n_(k_1))$ e l'altra di $y_(n_(k_2))$) che convergano ad uno stesso limite $y$. E questa è una contraddizione. (faticoso da spiegare!)
Quindi deve essere necessariamente convergente.
3) Supponiamo che $y_n -> bar y$. Allora ogni sottosuccessione $(y_(n_k))_k$ avrebbe limite $bar y$; di conseguenza anche ogni sottosuccessione di $(y_(n_k))_k$ convergerebbe a $bar y$. Per il teorema di unicità del limite $bar y = y$.
Si, come idea va bene e anche come svolgimento, per quanto si possa compattare in un caso solo. Infatti possiamo fare così:
Per assurdo supponiamo che $y_n$ non converge ad $y$. Quindi, negando la definizione di limite, otteniamo
$exists epsilon$ tale che $forall nu exists n ge nu$ tale che $|y_n-y|>epsilon$.
Ovvero, la successione $y_n$ è per infiniti indici distante da $y$ più di $epsilon$, e quindi esiste una estratta $y_{n_k}$ tale che $|y_{n_k}-y|>epsilon$ per ogni $k$. Ma questo esclude che $(y_{n_k})$ possa avere estratte convergenti ad $y$, contro l'ipotesi.
Per assurdo supponiamo che $y_n$ non converge ad $y$. Quindi, negando la definizione di limite, otteniamo
$exists epsilon$ tale che $forall nu exists n ge nu$ tale che $|y_n-y|>epsilon$.
Ovvero, la successione $y_n$ è per infiniti indici distante da $y$ più di $epsilon$, e quindi esiste una estratta $y_{n_k}$ tale che $|y_{n_k}-y|>epsilon$ per ogni $k$. Ma questo esclude che $(y_{n_k})$ possa avere estratte convergenti ad $y$, contro l'ipotesi.
"Seneca":
2) Se $C$ è limitato, allora $f(C)$ è limitato.
Mi interessava questo, piuttosto.
Idea:
Per assurdo: se $f(C)$ fosse illimitato, allora potrei prendere una successione $(y_n)_n$ a valori in $f(C)$ tale che $y_n -> +oo$. Usando l'assioma della scelta possiamo definire una successione $(x_n)_n$ tale che $y_n = f(x_n)$.
Ora la parte più dubbia:
Per ipotesi $C$ è limitato, quindi, per il teo. di Weierstrass, posso estrarre una sottosuccessione $(x_(n_k))_k$ convergente ad $bar x in RR$.
(*) Se $(x_n)_n$ ha limite per $n -> +oo$, posso applicare il teo. dell'unicità del limite e scrivere la seguente catena di uguaglianze:
$f(bar x) = lim_k f(x_(n_k)) = lim_n f(x_n) = lim_n y_n = +oo$
che è assurdo.
(*) Se non avesse limite potrei comunque estrarre una sottosuccessione monotona la quale avrebbe limite finito, attesa la limitatezza di $C$.
Come ragionamento è giusto?
Attenzione, non dici che $C$ è chiuso, né usi questo fatto nella dimostrazione.
Non dici che $\bar x$ sta in $C$, fatto che usi, visto che calcoli $f(\bar x)$.
Naturalmente, che $\bar x$ stia in $C$ è vero se assumi che $C$ sia chiuso.
Tendo a ritenere che ci fosse l'ipotesi $C$ chiuso, dato il contesto del thread. Ma non si sa mai, e non vorrei che un futuro lettore fosse sviato dalla retta via
Nota finale: se $C$ è solo limitato, la continuità di $f$ (anche qui, viene assunta nella dim, ma non è scritta esplicitamente nelle ipotesi dell'esercizio) non basta a garantire che $f(C)$ sia limitato. Basta pensare alla funzione tangente, su $]- pi/2, pi/2[$
Però, Fioravante, Seneca fa l'ipotesi che $f$ sia definita su tutto $RR$ e sia ovunque continua, quindi il risultato è vero anche se $C$ non è chiuso (certo, l'estensore dell'esercizio poteva scegliere un altro simbolo!).
Infatti $f(C) \subset f(bar{C})$, e l'insieme a destra è compatto, quindi limitato: perciò anche $f(C)$ è limitato. Ma qui ci vuole che $f$ sia continua su tutto $bar{C}$, e non solo su $C$: ed ecco l'esempio - $tan$ è continua su $C=(-pi/2, pi/2)$ ma non certo su $bar{C}$, dove non è nemmeno definita né è prolungabile per continuità.
Quindi, secondo me il risultato è vero con un generico $C$ limitato, che sia chiuso o no. Ma è proprio essenziale che $f$ sia continua su tutta la retta.
Infatti $f(C) \subset f(bar{C})$, e l'insieme a destra è compatto, quindi limitato: perciò anche $f(C)$ è limitato. Ma qui ci vuole che $f$ sia continua su tutto $bar{C}$, e non solo su $C$: ed ecco l'esempio - $tan$ è continua su $C=(-pi/2, pi/2)$ ma non certo su $bar{C}$, dove non è nemmeno definita né è prolungabile per continuità.
Quindi, secondo me il risultato è vero con un generico $C$ limitato, che sia chiuso o no. Ma è proprio essenziale che $f$ sia continua su tutta la retta.
Per fugare ogni dubbio riporto interamente l'esercizio:
Esercizio: Sia $f : RR -> RR$ continua.
1) Se $C$ è chiuso, allora $f^(-1)(C)$ è chiuso.
2) Se $C$ è limitato, allora $f(C)$ è limitato.
Esercizio: Sia $f : RR -> RR$ continua.
1) Se $C$ è chiuso, allora $f^(-1)(C)$ è chiuso.
2) Se $C$ è limitato, allora $f(C)$ è limitato.
OK, benissimo.
Non mi era chiaro che ci fosse l'ipotesi "generale" che $f$ fosse definita su tutto $RR$.
Leggendo solo quel post, non mi tornavano le cose.
Scusate l'interferenza.
Non mi era chiaro che ci fosse l'ipotesi "generale" che $f$ fosse definita su tutto $RR$.
Leggendo solo quel post, non mi tornavano le cose.
Scusate l'interferenza.
"dissonance":Certo, giustissimo. Ed anche interessante che non serva la chiusura di $C$.
Quindi, secondo me il risultato è vero con un generico $C$ limitato, che sia chiuso o no. Ma è proprio essenziale che $f$ sia continua su tutta la retta.
2) [tex]C[/tex] limitato [tex]\Rightarrow f(C)[/tex] limitato.
[tex]C[/tex] limitato [tex]\Rightarrow \exists k > 0 : \forall x \in C, |x| < k \Rightarrow f[/tex] assume massimo e minimo in [tex][-k,k][/tex] per il teo. di Weierstrass [tex]\Rightarrow f([-k,k])[/tex] è limitato [tex]\Rightarrow[/tex] a maggior ragione [tex]f(C)[/tex], essendo [tex]C \subseteq [-k,k][/tex], è limitato.
[tex]C[/tex] limitato [tex]\Rightarrow \exists k > 0 : \forall x \in C, |x| < k \Rightarrow f[/tex] assume massimo e minimo in [tex][-k,k][/tex] per il teo. di Weierstrass [tex]\Rightarrow f([-k,k])[/tex] è limitato [tex]\Rightarrow[/tex] a maggior ragione [tex]f(C)[/tex], essendo [tex]C \subseteq [-k,k][/tex], è limitato.
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