Insiemi chiusi e illimitati?
Buongiorno.
Devo dimostrare che una funzione uniformemente continua su due sottoinsiemi chiusi di $ mathbb(R) $ non è uniformemente continua sulla loro unione, fornendo un controesempio valido.
Il dubbio è: come posso scegliere dei sottoinsiemi validi per la dimostrazione? Ho difficoltà nel trovare dei sottoinsiemi che siano chiusi e illimitati (se li scelgo chiusi e limitati ho dei compatti, per cui l'unione di compatti risulta ancora un compatto e la funzione sarebbe ivi uniformemente continua...).
Poi, sulla base di quelli, penso di costruire una funzione che sia U.C. sui due insiemi, ma non sull'unione.
Qualche suggerimento?
Grazie in anticipo.
Devo dimostrare che una funzione uniformemente continua su due sottoinsiemi chiusi di $ mathbb(R) $ non è uniformemente continua sulla loro unione, fornendo un controesempio valido.
Il dubbio è: come posso scegliere dei sottoinsiemi validi per la dimostrazione? Ho difficoltà nel trovare dei sottoinsiemi che siano chiusi e illimitati (se li scelgo chiusi e limitati ho dei compatti, per cui l'unione di compatti risulta ancora un compatto e la funzione sarebbe ivi uniformemente continua...).
Poi, sulla base di quelli, penso di costruire una funzione che sia U.C. sui due insiemi, ma non sull'unione.
Qualche suggerimento?
Grazie in anticipo.
Risposte
Prova a ragionare su una funzione che vale (1) su un chiuso e (0) su un altro chiuso. Questa funzione è continua. Puoi scegliere i due chiusi in modo tale che non sia uniformemente continua? Io penso di si.
Mmmm... Non la vedo, se i due insiemi sono entrambi chiusi.
Dunque, l'esempio più semplice che io ho in mente in realtà è in \(\mathbb R^2\). Consideriamo i due chiusi
\[
F_1=\{(x, y)\in\mathbb R^2\ :\ xy=1\}, \]
e
\[
F_2=\{(x, y)\in\mathbb R^2\ :\ y=0\}.\]
La funzione
\[
f(x, y)=\begin{cases} 1, & (x, y)\in F_1, \\
0, & (x, y)\in F_2, \end{cases}\]
è definita sul chiuso \(F_1\cup F_2\), continua ma non uniformemente continua; per dimostrarlo, per esempio, penserei alle successioni \(a_n=(n,0)\in F_2\), e \(b_n=(n, 1/n)\in F_1\). Si ha che \(|a_n-b_n|\to 0\), quindi se \(f\) fosse uniformemente continua dovrebbe essere \(|f(a_n)-f(b_n)|\to 0\), che è una contraddizione.
Ora però non saprei come trasportare questo esempio su \(\mathbb R\). Penso proprio sia possibile, ma non saprei come.
\[
F_1=\{(x, y)\in\mathbb R^2\ :\ xy=1\}, \]
e
\[
F_2=\{(x, y)\in\mathbb R^2\ :\ y=0\}.\]
La funzione
\[
f(x, y)=\begin{cases} 1, & (x, y)\in F_1, \\
0, & (x, y)\in F_2, \end{cases}\]
è definita sul chiuso \(F_1\cup F_2\), continua ma non uniformemente continua; per dimostrarlo, per esempio, penserei alle successioni \(a_n=(n,0)\in F_2\), e \(b_n=(n, 1/n)\in F_1\). Si ha che \(|a_n-b_n|\to 0\), quindi se \(f\) fosse uniformemente continua dovrebbe essere \(|f(a_n)-f(b_n)|\to 0\), che è una contraddizione.
Ora però non saprei come trasportare questo esempio su \(\mathbb R\). Penso proprio sia possibile, ma non saprei come.
Innanzitutto grazie a tutti per l'interessamento. 
Chiaramente parlo da studente ancora alle prime armi, ma riflettendo anche sulle prime dritte date qui, mi pongo la seguente domanda:
se considero la funzione $ { ( f(x)=1 \qquad con\ x<0),( f(x)=2 \qquad con\ x>=0 ):} $
e gli insiemi chiusi $ A={a: -5<=a<=-1} $ e $ B={b: 2<=b<=4} $
so che la funzione è uniformemente continua su A e su B, ma considerando l'unione posso affermare che la funzione non sia ivi continua (e quindi nemmeno uniformemente continua)?
Chiaramente parlo da studente ancora alle prime armi, ma riflettendo anche sulle prime dritte date qui, mi pongo la seguente domanda:
se considero la funzione $ { ( f(x)=1 \qquad con\ x<0),( f(x)=2 \qquad con\ x>=0 ):} $
e gli insiemi chiusi $ A={a: -5<=a<=-1} $ e $ B={b: 2<=b<=4} $
so che la funzione è uniformemente continua su A e su B, ma considerando l'unione posso affermare che la funzione non sia ivi continua (e quindi nemmeno uniformemente continua)?
E perché mai non sarebbe continua?
Condivido l'obiezione di Gugo. Aggiungo che questo esempio non funzionerà mai: non puoi prendere due intervalli chiusi, sarebbe troppo facile. Infatti, una funzione con restrizioni uniformemente continue su due intervalli chiusi è uniformemente continua sull'unione.
Abbozzo di dimostrazione: la distanza tra due intervalli chiusi disgiunti \(I\) e \(J\) è strettamente positiva. (Qui la "distanza" tra due insiemi \(A\) e \(B\) è definita come
\[
d(A, B)=\inf \{ |a-b|\, :\, a\in A,\ b\in B\}).\]
Siccome \(f\) è uniformemente continua su \(I\), per ogni \(\epsilon>0\) esiste \(\delta_I(\epsilon)>0\) tale che
\[\tag{1}
x, y\in I,\ |x-y|<\delta_I \quad \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\epsilon.\]
Stesso discorso su \(J\). Ma allora, per ogni \(\epsilon>0\) fissato si può scegliere \(\delta=\min\{ \delta_I, \delta_J, \frac12d(I, J)\}\); siccome \(d(I, J)>0\), si ha \(\delta>0\). (Se la distanza tra i due chiusi fosse nulla, questa scelta sarebbe priva di senso giacché si avrebbe \(\delta=0\), che è proibito dalla definizione di continuità uniforme). Non è difficile verificare che la (1) sussiste su \(I\cup J\), con tale \(\delta\).\(\Box\)
---
Ti servono due chiusi a distanza nulla, come nell'esempio su \(\mathbb R^2\) che ho scritto sopra; in quel caso i due chiusi sono una retta e una iperbole, e si avvicinano sempre di più man mano che ci si allontana dall'origine, senza toccarsi mai.
Abbozzo di dimostrazione: la distanza tra due intervalli chiusi disgiunti \(I\) e \(J\) è strettamente positiva. (Qui la "distanza" tra due insiemi \(A\) e \(B\) è definita come
\[
d(A, B)=\inf \{ |a-b|\, :\, a\in A,\ b\in B\}).\]
Siccome \(f\) è uniformemente continua su \(I\), per ogni \(\epsilon>0\) esiste \(\delta_I(\epsilon)>0\) tale che
\[\tag{1}
x, y\in I,\ |x-y|<\delta_I \quad \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\epsilon.\]
Stesso discorso su \(J\). Ma allora, per ogni \(\epsilon>0\) fissato si può scegliere \(\delta=\min\{ \delta_I, \delta_J, \frac12d(I, J)\}\); siccome \(d(I, J)>0\), si ha \(\delta>0\). (Se la distanza tra i due chiusi fosse nulla, questa scelta sarebbe priva di senso giacché si avrebbe \(\delta=0\), che è proibito dalla definizione di continuità uniforme). Non è difficile verificare che la (1) sussiste su \(I\cup J\), con tale \(\delta\).\(\Box\)
---
Ti servono due chiusi a distanza nulla, come nell'esempio su \(\mathbb R^2\) che ho scritto sopra; in quel caso i due chiusi sono una retta e una iperbole, e si avvicinano sempre di più man mano che ci si allontana dall'origine, senza toccarsi mai.
"dissonance":
Ora però non saprei come trasportare questo esempio su (mathbb R). Penso proprio sia possibile, ma non saprei come.
Forse si può fare, ma diventa quasi banale (perciò ho faticato a vederlo).
Grazie tante a tutti delle risposte e della disponibilità.
Proverò ad applicare i consigli e l'esempio al caso in questione!
Proverò ad applicare i consigli e l'esempio al caso in questione!
Bell'esempio Gugo!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo