Insiemi aperti ed chiusura dell'insieme

[curiosone1]

Ciao ragazzi,
ho questo esercizio: http://rinaldo.unibs.it/aa1213/s5.pdf - Esercizio 8.

Siano (X, d) uno spazio metrico ed A un sottoinsieme di X.

Vengono date due frasi:


La seconda frase mi suggerisce: A compatto -> A chiuso è limitato -> allora posso dire: chiusura(A) <= A (anzi, coincidono! secondo me...). Intanto il secondo punto è vero.

Il primo punto che secondo me può reggere è l'insieme vuoto invece no... Perché?

Grazie mille

[dissonance]

Buh, sinceramente è scritto un po' male, dovresti rileggere prima di inviare, usare bene le formule, non riportare link esterni. Non è per fare il rompipalle, sono suggerimenti che si danno sempre su questo forum. In ogni caso, per come hai scritto, mi pare che \(A=X\) verifichi tutti e due i punti e non è detto che sia né compatto né niente.

[curiosone1]

Capito, allora dalle prossime volte eviterò ove possibile di riportare link esterni.

Tuttavia, se tu mi dici di far coincidere A con tutto l'insieme X: $ A = X $
Come faccio ad affermare che $ bar(A) $ sia contenuto in $ A $ ?
$ bar(A) $ = tutti i punti di A più la frontiera dell'insieme stesso
$ A $ = tutti i punti di A
Se $ A $ è un insieme chiuso oppure un insieme vuoto, vale questa relazione, giusto?

Mentre, per il secondo punto, anche se A è un insieme compatto non posso affermare altre relazioni con la chiusura (per questo caso), giusto?

Grazie mille!

[dissonance]

Senza sapere né leggere né tantomeno scrivere, se $A=X$ allora qualsiasi sottoinsieme di \(X\) è contenuto in \(A\). In particolare, \(\overline{A}\subset A\). Fine.

[curiosone1]

"dissonance":Senza sapere né leggere né tantomeno scrivere, se $A=X$ allora qualsiasi sottoinsieme di \(X\) è contenuto in \(A\). In particolare, \(\overline{A}\subset A\). Fine.

Perdonami dissonance, per me non era così immediato questo ragionamento. Fine.

[Fioravante Patrone1]

A me fa impressione leggere nel testo di un esercizio:

se ... $=>$ ...

Sarà stata una svista

[curiosone1]

Come mai ragazzi? Qual è il problema nell'esercizio?
Il testo l'ha fatto il mio professore...

[gio73]

forse il problema è mischiare due linguaggi equivalenti, ma alternativi
mi spiego:

puoi scrivere
se.... allora...

oppure solo
... $=>$ ...

magari in una prima stesura ha usato una espressione (la prima), poi ha cambiato idea (ha usato la seconda) ma si è dimenticato di togliere un pezzo che a quel punto era di troppo

[curiosone1]

Capito, errore mio!

[Fioravante Patrone1]

"curiosone":Capito, errore mio!

Perché errore tuo? L'errore è nel testo dell'esercizio (ho guardato il pdf originale).
Poi, ovvio che una svista può capitare a tutti. Molto probabilmente o è conseguenza di un qualche cut&paste, o è successo come dice gio73.
Resta il fatto che quella scrittura fa ribrezzo

[dissonance]

"curiosone":
Perdonami dissonance, per me non era così immediato questo ragionamento. Fine.

Non te la prendere, non era un tono offensivo ma scherzoso

[curiosone1]

Perdonami ma quel "fine" mi deve essere scappato quando volevo fare il quote della tua citazione (poi ho cambiato idea per non appesantire il mio post di risposta).
No no, ci mancherebbe!