Insiemi aperti e Connessi
Buongiorno a tutti io avrei un quesito.
Prima di tutto vorrei sapere se qualcuno mi sa consigliare un libro dove siano elencate e dimostrate le proprietà degli insiemi connessi, senza che sia un libro "strettamente" topologico; visto che alcuni libri di analisi si sprecano tanto a dare le "mille" proprietà degli insiemi compatti, ma nessuno dei libri di analisi che ho trovato spreca più di una pagina a parlare degli insiemi connessi.
Detto questo, il mio problema più stringente deriva dal fatto che alcuni libri danno la definizione di "Insieme Connesso" e altri danno la definizione di "Insieme Aperto e Connesso". Ora ricordando che dire che due insiemi sono disgiunti se $A\cap B=\emptyset$ mentre sono separati se $\bar A \cap B =\emptyset \wedge A\cap\bar B=\emptyset$, le due definizioni recitano:
1)Un insieme $E$ si dice connesso se e solo se non esistono due insiemi $E_1,E_2\ne \emptyset$ separati, tali che $E_1\cup E_2=E$.
2)Un insieme aperto $A$ si dice connesso se e solo se non esistono due insiemi aperti $A_1,A_2\ne \emptyset$ disgiunti, tali che $A_1\cup A_2=A$
A questo punto, ovviamente la prima definizione è più generale, però se ho un insieme aperto e connesso, le due definizioni dovrebbero essere legate da un se e solo se, giusto?
Per ora sono riuscito a dimostrare molto facilmente che 1) implica 2) se l'insieme $E$ è aperto, tuttavia non riesco proprio a dimostrare che 2) implichi 1) , qualcuno riesce a far luce sulla vicenda?
Prima di tutto vorrei sapere se qualcuno mi sa consigliare un libro dove siano elencate e dimostrate le proprietà degli insiemi connessi, senza che sia un libro "strettamente" topologico; visto che alcuni libri di analisi si sprecano tanto a dare le "mille" proprietà degli insiemi compatti, ma nessuno dei libri di analisi che ho trovato spreca più di una pagina a parlare degli insiemi connessi.
Detto questo, il mio problema più stringente deriva dal fatto che alcuni libri danno la definizione di "Insieme Connesso" e altri danno la definizione di "Insieme Aperto e Connesso". Ora ricordando che dire che due insiemi sono disgiunti se $A\cap B=\emptyset$ mentre sono separati se $\bar A \cap B =\emptyset \wedge A\cap\bar B=\emptyset$, le due definizioni recitano:
1)Un insieme $E$ si dice connesso se e solo se non esistono due insiemi $E_1,E_2\ne \emptyset$ separati, tali che $E_1\cup E_2=E$.
2)Un insieme aperto $A$ si dice connesso se e solo se non esistono due insiemi aperti $A_1,A_2\ne \emptyset$ disgiunti, tali che $A_1\cup A_2=A$
A questo punto, ovviamente la prima definizione è più generale, però se ho un insieme aperto e connesso, le due definizioni dovrebbero essere legate da un se e solo se, giusto?
Per ora sono riuscito a dimostrare molto facilmente che 1) implica 2) se l'insieme $E$ è aperto, tuttavia non riesco proprio a dimostrare che 2) implichi 1) , qualcuno riesce a far luce sulla vicenda?
Risposte
Non ho letto tutto ma io ti consiglierei di guardare su un libro di topologia giusto la definizione di connessione. Il concetto che ti manca per evitare quella che mi sembra un'inutile complicazione, è quello di topologia di sottospazio. E' una banalità eh, niente di sofisticato, ma una volta capito quello la definizione corretta di connessione è facile e uguale per tutti gli insiemi del mondo.
ho letto cos'è la topologia di sottospazio, ma non vedo proprio cosa centri col mio problema. (La prima definizione che ho dato è già uguale per ogni insieme del "mondo", quello che sto cercando di dimostrare è una proprietà degli aperti connessi).
C'entra perché la topologia indotta dall'inclusione \(E\subset X\) può dare condizioni diverse per un \(V\subseteq E\) a seconda che $E$ sia aperto, chiuso, o né l'uno né l'altro, in $X$. Ed è anche possibile che la verità di $1\iff 2$ dipenda da una proprietà di separazione (la retta con due origini è connessa in entrambi i sensi?).
Ci sono comunque parecchie cose che rendono questa domanda mal posta: trovo difficile pensare che esista qualcosa di diverso dalla pagina di wikipedia (o da un po' di intraprendenza) per scrivere una lista di proprietà degli insiemi connessi. Una che mi viene in mente senza pensarci troppo è che una funzione continua $f : X \to Y$, dove $X$ è connesso e $Y$ no, non può essere suriettiva ($f(X)$ deve cadere in una sola componente connessa di $Y$).
Ci sono comunque parecchie cose che rendono questa domanda mal posta: trovo difficile pensare che esista qualcosa di diverso dalla pagina di wikipedia (o da un po' di intraprendenza) per scrivere una lista di proprietà degli insiemi connessi. Una che mi viene in mente senza pensarci troppo è che una funzione continua $f : X \to Y$, dove $X$ è connesso e $Y$ no, non può essere suriettiva ($f(X)$ deve cadere in una sola componente connessa di $Y$).
Il fatto è che prendendendo la definizione corretta di insieme connesso si ha che(topologia di sottospazio)
Se $A$ è aperto in $X$ allora $A$ è sconnesso sse esistono due aperti $C,D$ di $X$ non vuoti e disgiunti tali che $CcupD=A$
Chiaramente questo, che si usa spesso in analisi, restringe di molto la definizione di connesso. Infatti in generale si definisce sottospazio connesso un sottoinsieme che è connesso(gli unici chiusi/aperti sono il vuoto e l’insieme) rispetto alla topologia di sottospazio e quando il sottoinsieme è aperto la definizione coincide con quella sopra
Se $A$ è aperto in $X$ allora $A$ è sconnesso sse esistono due aperti $C,D$ di $X$ non vuoti e disgiunti tali che $CcupD=A$
Chiaramente questo, che si usa spesso in analisi, restringe di molto la definizione di connesso. Infatti in generale si definisce sottospazio connesso un sottoinsieme che è connesso(gli unici chiusi/aperti sono il vuoto e l’insieme) rispetto alla topologia di sottospazio e quando il sottoinsieme è aperto la definizione coincide con quella sopra
Mmmh... se una rondine non fa primavera, tre rondini forse si...
Innanzi tutto grazie per la pazienza.
Allora premetto che di topologia e spazi topologici io so praticamente nulla, se non quel pochissimo che si trova "buttato lì" nei libri di analisi. Quindi quello che mi state dicendo non mi è totalmente chiaro. Il discorso che fate mi suona simile a quando si ha uno spazio metrico e se si vuole prendere un sottospazio metrico allora si applica su questo la metrica indotta.
Eppure non capisco proprio questo "polverone", per una domanda che a me non sembrava nascondere tutte queste insidie...
Prima di tutto vorrei capire perché dite che è mal posta la domanda.
Ricordando che per me (e per tutti i libri di analisi che ho letto) essere "connessi" è una mera proprietà di un insieme (senza neanche sognare gli spazi topologici o la topologia di sottospazio), esattamente come essere "compatti", "convessi", "stellati" eccetera... In secondo luogo, forse avrei dovuto esplicitarlo ma io sto parlando sempre e solo di sottoinsiemi di $\mathbb{R}^n$, non l'avevo esplicitato perché pensavo che le definizioni di connessione che avevo scritto fossero "generali", ma forse non è così...
Infine nella mia testa questa frase sembra una tautologia:
Mi sembra strano per concludere, che per conciliare due definizioni diverse trovate su libri di analisi diversi, io mi debba studiare un libro di topologia... però vorrei capire, secondo voi non ne posso venire a capo senza qualche nozione di topologia in più?
Innanzi tutto grazie per la pazienza.
Allora premetto che di topologia e spazi topologici io so praticamente nulla, se non quel pochissimo che si trova "buttato lì" nei libri di analisi. Quindi quello che mi state dicendo non mi è totalmente chiaro. Il discorso che fate mi suona simile a quando si ha uno spazio metrico e se si vuole prendere un sottospazio metrico allora si applica su questo la metrica indotta.
Eppure non capisco proprio questo "polverone", per una domanda che a me non sembrava nascondere tutte queste insidie...
Prima di tutto vorrei capire perché dite che è mal posta la domanda.
Ricordando che per me (e per tutti i libri di analisi che ho letto) essere "connessi" è una mera proprietà di un insieme (senza neanche sognare gli spazi topologici o la topologia di sottospazio), esattamente come essere "compatti", "convessi", "stellati" eccetera... In secondo luogo, forse avrei dovuto esplicitarlo ma io sto parlando sempre e solo di sottoinsiemi di $\mathbb{R}^n$, non l'avevo esplicitato perché pensavo che le definizioni di connessione che avevo scritto fossero "generali", ma forse non è così...
Infine nella mia testa questa frase sembra una tautologia:
"anto_zoolander":
Infatti in generale si definisce sottospazio connesso un sottoinsieme che è connesso(gli unici chiusi/aperti sono il vuoto e l’insieme) rispetto alla topologia di sottospazio e quando il sottoinsieme è aperto la definizione coincide con quella sopra
Mi sembra strano per concludere, che per conciliare due definizioni diverse trovate su libri di analisi diversi, io mi debba studiare un libro di topologia... però vorrei capire, secondo voi non ne posso venire a capo senza qualche nozione di topologia in più?
"Bossmer":
...
Ricordando che per me (e per tutti i libri di analisi che ho letto) essere "connessi" è una mera proprietà di un insieme (senza neanche sognare gli spazi topologici o la topologia di sottospazio), esattamente come essere "compatti", "convessi", "stellati" eccetera... In secondo luogo, forse avrei dovuto esplicitarlo ma io sto parlando sempre e solo di sottoinsiemi di $\mathbb{R}^n$
...
Infine nella mia testa questa frase sembra una tautologia:
[quote="anto_zoolander"] Infatti in generale si definisce sottospazio connesso un sottoinsieme che è connesso(gli unici chiusi/aperti sono il vuoto e l’insieme) rispetto alla topologia di sottospazio e quando il sottoinsieme è aperto la definizione coincide con quella sopra
[/quote]
Ecco la quarta rondine. Studia topologia, intendo quel poco che ti serve. Bastano le cose di base ad essi dedicate nel Kelley (General Topology).
NO! Essere connesso, stellato, etc., NON è una proprietà di un insieme nudo e crudo. Ma dell'insieme e delle strutture matematiche che gli hai sbattuto sopra (la connessione è una proprietà topologica, dipende dalla topologia che metti sull'insieme; essere stellato richiede una struttura di tipo algebrico, diciamo di spazio vettoriale, per semplificare). Ovvio che se stai sempre rintanato in $RR^n$ non te ne accorgi, perché su $RR^n$ hai la solita opologia, la solita struttura di spazio vettoriale (se così non fosse, se volessi ad esempio considerare una topologia diversa, ovvio che lo puoi fare, ma è meglio dirlo, sennò ci si confonde)
E, da ultimo, la frase scritta da Anto Zoolander NON è una tautologia. Leggi bene! In particolare "in generale si definisce sottospazio connesso un sottoinsieme che è connesso(gli unici chiusi/aperti sono il vuoto e l’insieme) rispetto alla topologia di sottospazio". Se vivisezioni la frase ti accorgi che non è una tautologia (poi, per capire cosa dice, ti serve un po' di... topologia).
Comunque, per quel che può contare il mio giudizio: bene, vai avanti così che sei sulla retta via. Non sembri uno che si spaventa a dover fare un po' di fatica. E, allora, dai: dopotutto Kelley parla di insiemi connessi a pag. 53, mica devi arrivare fino a pag. 135 dove attacca con la compattezza (cioè, prima o poi ti toccherà, ma almeno avrai solo meno di un'ottantina di pagine da leggere).
Buona notte
Ricevuto, ci risentiamo se serve fra un'ottantina di pagine.
Per il momento grazie
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