Insiemi Aperti Connessi

[pater46]

Ciao forum! Oggi a lezione di analisi II si è parlato di insiemi aperti connessi ed insiemi aperti connessi per spezzate. Avrei alcuni dubbi a riguardo, ve li espongo:

1) Definizione di insieme aperto connesso.
$A$ aperto $\subseteq R^n$. A si dice APERTO CONNESSO quando non (?) è possibile decomporlo in due insiemi aperti non vuoti, in altre parole
$ !\exists A_1, A_2 $ aperti $ != \O $ con $A_1 \cap A_2 = \O $ tale che $ A_1 \cup A_2 = A $ ( con $\O$ intendo l'insieme vuoto )

E' questa definizione esatta? ( Il professore scriveva troppo velocemente! )

2) Connesso Implica Connesso per spezzate?
3) Connesso per spezzate Implica Connesso?

4) Dimostrazione teorema di esistenza degli zeri.

IP: $\Omega \subset R^n$ aperto connesso. $f:\Omega \to \R, f \in C^o( \Omega )$
$\exists x_a \in \Omega : f( x_a ) < 0$
$\exists x_b \in \Omega : f( x_b ) > 0$

TS:
$\exists x_c \in \R^n : f( x_c) = 0$

Il professore ha dimostrato tale teorema per assurdo:

Supponiamo $f( x ) != 0 \forall x \in \Omega$. Consideriamo
$\Omega_1 = { x \in \Omega : f(x) < 0 }$
$\Omega_2 = { x \in \Omega : f(x) > 0 }$

Tali insiemi:
*) Non sono vuoti ( $x_a \in \Omega_1, x_b \in \Omega_2 )
**) La loro unione forma $\Omega$
***) La loro intersezione è vuota

Se riusciamo a provare che sia $\Omega_1$ che $\Omega_2$ sono (vuoti) APERTI otteniamo un assurdo. ( EDIT )

Ora... il professore dimostra anche quest'ultima affermazione, che non sto qua a discutere... la mia domanda è: Perchè si arriva ad un assurdo?
Se prova anche questa cosa, si ha che $\Omega$ è aperto connesso. Che è un'ipotesi! Perchè è un assurdo?

Grazie in anticipo!

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

"pater46":Se prova anche questa cosa, si ha che $\Omega$ è aperto connesso.

Non connesso, sconnesso.

Cioè se prova che $Omega_1$ e $Omega_2$ sono non vuoti allora ha provato che $Omega$ è sconnesso, e questo è un assurdo.

[Fabbro1]

sì credo che la definizione sia esatta...una definizione alternativa:
un insieme S è connesso se gli unici sottoinsiemi di S ad essere contemporaneamente aperti e chiusi sono S stesso e l' insieme vuoto.
Se si parla di aperti allora la connessione per poligonale è equivalente alla connessione e quindi in questo caso valgono entrambe le implicazioni.
L' assurdo stà nell' aver trovato due insiemi non vuoti e disgiunti la cui unione forma omega.Infatti ciò implica che S non è connesso,ovvero contraddice l' ipotesi.
Bisogna dimostrare i tre punti da te scritti e facendo ciò si arriva all' assurdo che ti ho detto.

[Rigel1]

"pater46":
Supponiamo $f( x ) != 0 \forall x \in \Omega$. Consideriamo
$\Omega_1 = { x \in \Omega : f(x) < 0 }$
$\Omega_2 = { x \in \Omega : f(x) > 0 }$

Tali insiemi:
*) Non sono vuoti ( $x_a \in \Omega_1, x_b \in \Omega_2 )
**) La loro unione forma $\Omega$
***) La loro intersezione è vuota

Se riusciamo a provare che sia $\Omega_1$ che $\Omega_2$ sono vuoti otteniamo un assurdo.

Se riusciamo a provare che sia $\Omega_1$ che $\Omega_2$ sono aperti otteniamo un assurdo
(infatti in tal caso $\Omega$ non sarebbe connesso).

[pater46]

@Rigel, scusa, nella fretta ho sbagliato a scrivere. E' proprio come dici tu, otteniamo un assurdo se sia $\Omega_1$ che $\Omega_2$ sono aperti.

@Rigel, Martino: Mi stavo confondendo perchè ero convinto che avessi sbagliato a trascrivere la definizione di insieme aperto connesso. Visto che mi avete dato conferma, insieme a Fabbro, sono riuscito a comprendere come nasceva l'assurdo

Grazie!

PS: Sapete chiarirmi i punti 3-4? Andando per logica sembrerebbe che connesso implichi connesso per spezzate, ma in generale il viceversa non vale. Mi confermate?

[Rigel1]

Connesso per archi (e in particolare per spezzate) implica connesso. Questo vale in un qualsiasi spazio topologico.

Viceversa, esistono spazi topologici connessi ma non connessi per archi.

Tuttavia, se $\Omega\subset RR^n$ è aperto, allora le due nozioni coincidono, vale a dire $\Omega$ è connesso se e solo se è connesso per archi (o per spezzate).

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Se capisco bene quello che intendi con "spezzata", connesso per spezzate implica connesso per archi implica connesso. Invece connesso (anche per archi) non implica connesso per spezzate, per esempio una circonferenza è un connesso ma non contiene "spezzate".

[G.D.5]

@pater46
Potresti modficare il tuo avatar?
Come da regolamento, il peso massimo del file immagine è 10 Kb, il tuo avatar pesa 35 Kb.

[pater46]

Lo faccio subito.

[G.D.5]

Grazie per la cortesia.

[gugo82]

"Martino":Se capisco bene quello che intendi con "spezzata", connesso per spezzate implica connesso per archi implica connesso. Invece connesso (anche per archi) non implica connesso per spezzate, per esempio una circonferenza è un connesso ma non contiene "spezzate".

Ma una circonferenza non è un aperto.

Se non ricordo male, per gli aperti di [tex]$\mathbb{R}^n$[/tex] connessione per archi e per spezzate sono equivalenti.
L'idea è questa (ovviamente basta mostrare che [tex]$\text{connesso per archi} \Rightarrow \text{connesso per spezzate}$[/tex], dato che il viceversa è ovvio): se ho un arco [tex]$\Gamma \subset \Omega$[/tex], visto che esso è compatto, posso ricoprire [tex]$\Gamma$[/tex] con un numero finito [tex]$N$[/tex] di palline di raggio piccolo, diciamole [tex]$B(x_i;r)$[/tex] con centri [tex]$x_i \in \Gamma$[/tex], tali che [tex]$\bigcup_{i=1}^N B(x_i;r) \subseteq \Omega$[/tex] (basta prendere [tex]$0 Se chiamo [tex]$S$[/tex] la spezzata che congiunge i centri delle palline ho [tex]$S\subseteq \bigcup_{i=1}^N B(x_i;r)$[/tex] (per motivi geometrici: se le due palline [tex]$B(x_i;r), B(x_{i+1};r)$[/tex] si intersecano, la congiungente dei centri è in [tex]$B(x_i;r) \cup B(x_{i+1} ;r)$[/tex])e perciò [tex]$S \subseteq \Omega$[/tex], quindi ho connessione per spezzate.

Che ne dite?

[pater46]

"gugo82":
Che ne dite?

Che sei un grande
Mi spiegheresti il significato della scrittura $\text{dist} ( \Gamma, \partial \Omega ) $?

Affronto da poco l'analisi 2 però mi affascina molto. Per dist suppongo tu intenda la distanza no? Se si, finora l'unico modo per calcolare le distanze che abbiamo studiato è attraverso la norma... Con quella scrittura penso tu intenda la distanza tra la curva e...? la redivata parziale di Omega ( intesa come superficie )?

[gugo82]

Il simbolo [tex]$\partial \Omega$[/tex] denota la frontiera di [tex]$\Omega$[/tex], ossia il "bordo" dell'aperto; in altri termini, [tex]$\partial \Omega$[/tex] è l'insieme dei punti che non sono interni né ad [tex]$\Omega$[/tex] né al complementare [tex]$\mathbb{R}^n \setminus \Omega$[/tex].
Esempio: se [tex]$\Omega$[/tex] è un cerchio aperto del piano, [tex]$\partial \Omega$[/tex] è la sua circonferenza.

Il simbolo [tex]$\text{dist} (\Gamma ,\partial \Omega)$[/tex] denota effettivamente la distanza tra i due insiemi [tex]$\Gamma$[/tex] e [tex]$\partial \Omega$[/tex].
Pensala così: se fissi un punto [tex]$x\in \Gamma$[/tex], la distanza [tex]$\text{dist} (x,\partial \Omega)$[/tex] è definita come:

[tex]$\text{dist} (x,\partial \Omega) :=\inf_{y\in \partial \Omega} ||x-y||$[/tex]

cioè come l'estremo inferiore dell'insieme numerico descritto dalle distanze di [tex]$x$[/tex] (che è fissato!) dai punti [tex]$y\in \partial \Omega$[/tex].
La distanza di [tex]$\Gamma$[/tex] da [tex]$\partial \Omega$[/tex] è definita come:

[tex]$\text{dist} (\Gamma ,\partial \Omega) :=\inf_{x\in \Gamma} \text{dist} (x,\partial \Omega) =\inf_{x\in \Gamma ,y\in \partial \Omega} ||x-y||$[/tex]

cioè come estremo inferiore dell'insieme descritto dalle distanze dei punti [tex]$x\in \Gamma$[/tex] da [tex]$\partial \Omega$[/tex].

Esempio (con un po' di conti): siano [tex]$\Omega$[/tex] è il cerchio di raggio [tex]$2$[/tex] e centro [tex]$\mathfrak{o}=(0,0)$[/tex] e [tex]$\Gamma$[/tex] il segmento d'estremi [tex]$(-1,0)$[/tex] e [tex]$(1,0)$[/tex] abbiamo:
[asvg]xmin=-2;xmax=2;ymin=-2;ymax=2;
axes("","");
circle([0,0],2);
stroke="red";
line([-1,0],[1,0]);[/asvg]
Fissiamo [tex]$x=(\xi ,0) \in \Gamma$[/tex], sicché [tex]$\xi \in [-1,1]$[/tex] e, ricordando che il generico punto di [tex]$y\in \partial \Omega$[/tex] si rappresenta come [tex]$(\eta ,\pm \sqrt{4-\eta^2})$[/tex] (il segno va scelto a seconda che [tex]$y$[/tex] sia nel semipiano [tex]$\eta \geq 0$[/tex] o [tex]$\eta <0$[/tex]) con [tex]$\eta \in [-2,2]$[/tex], troviamo che la norma di [tex]$x-y$[/tex] è data da:

[tex]$||x-y||=\sqrt{(\xi -\eta)^2 +(4-\eta^2)} =\sqrt{\xi^2+4-2\xi \eta}$[/tex].

[asvg]xmin=-2;xmax=2;ymin=-2;ymax=2;
axes("","");
text([0.5,0],"x",below);
text([1.414,1.414],"y",aboveright);
circle([0,0],2);
stroke="red";
line([-1,0],[1,0]);
stroke="dodgerblue";
dot([0.5,0]);
dot([1.414,1.414]);
line([0.5,0],[1.414,1.414]);[/asvg]


La funzione di [tex]$\eta$[/tex] all'ultimo membro della precedente è strettamente decrescente [risp. strettamente crescente, costante] se [tex]$0<\xi \leq 1$[/tex] [risp. se [tex]$-1\leq \xi <0$[/tex], se [tex]$\xi =0$[/tex]]; ne viene che essa prende minimo (e quindi estremo inferiore) per [tex]$\eta =2$[/tex] [risp. [tex]$\eta=-2$[/tex], qualunque [tex]$\eta$[/tex]] e si ha:

[tex]$\text{dist} (x,\partial \Omega) = \begin{cases} ||(\xi-2,0)|| &\text{, se $0< \xi \leq 1$}\\ 2 &\text{, se $\xi =0$}\\ ||(\xi +2,0)|| &\text{, se $-1\leq \xi <0$}\end{cases}$[/tex]
[tex]$= \begin{cases} |\xi-2| &\text{, se $0<\xi \leq 1$}\\ 2 &\text{, se $\xi =0$}\\ |\xi +2| &\text{, se $-1\leq \xi <0$}\end{cases}$[/tex]
[tex]$= \begin{cases} 2-\xi &\text{, se $0<\xi \leq 1$}\\ 2 &\text{, se $\xi =0$}\\ \xi +2 &\text{, se $-1\leq \xi <0$}\end{cases}$[/tex].

La funzione di [tex]$\xi$[/tex] all'ultimo membro della precedente prende minimo (quindi estremo inferiore) per [tex]$\xi =\pm 1$[/tex] e perciò si ha:

[tex]$\text{dist} (\Gamma ,\partial \Omega) =1$[/tex].

P.S.: La derivata di un insieme (che io sappia) non esiste, ma derivata rispetto ad un inseme sì... Può sembrare un'idea stramba, ma i ricercatori di PDE/CoV sanno che essa ha senso (se opportunamente definita).

[pater46]

Aaaahh, ok Infatti mi suonava strano quel $\partial\Omega$. Sei stato davvero esaustivo, grazie per il tuo intervento

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Non avevo in mente insiemi aperti

"gugo82":Se non ricordo male, per gli aperti di [tex]$\mathbb{R}^n$[/tex] connessione per archi e per spezzate sono equivalenti.

Sì, ed è abbastanza intuitivo: in un aperto c'è abbastanza "spazio" per approssimare una curva con una spezzata.

PS. (ot) Ti si rivede! Cominciavo a preoccuparmi.. ma l'hai ricevuto il mio pm poi?