Insiemi
ragazzi, come faccio a provare che questo insieme è chiuso ma non limitato?
$W=[(x,y,z)inR^3:F(x,y,z)=xy+yz+zx-3=0]$
$W=[(x,y,z)inR^3:F(x,y,z)=xy+yz+zx-3=0]$
Risposte
è chiuso perchè è una superficie
per la non limitatezza basta osservare,ad esempio,che la sua proiezione sul piano $z=0$ è l'iperbole di equazione $xy=3$
per la non limitatezza basta osservare,ad esempio,che la sua proiezione sul piano $z=0$ è l'iperbole di equazione $xy=3$
ok, quindi un'insieme in 3 variabili è sempre chiuso perché è una superficie, mentre non ho ben capito il concetto di limitatezza, basta trovare una sua proiezione che non sia limitata?
inoltre devo scrivere l'equazione del piano tangente a W in (1,1,1), la formula del piano tangente quando ci stanno 3 incognite non l'ho trovata da nessuna parte
inoltre devo scrivere l'equazione del piano tangente a W in (1,1,1), la formula del piano tangente quando ci stanno 3 incognite non l'ho trovata da nessuna parte
"Bisteccone":
quindi un'insieme in 3 variabili è sempre chiuso perché è una superficie,
un insieme rappresentato da un'equazione
"Bisteccone":
mentre non ho ben capito il concetto di limitatezza, basta trovare una sua proiezione che non sia limitata?
è una strada come un'altra
"Bisteccone":
inoltre devo scrivere l'equazione del piano tangente a W in (1,1,1), la formula del piano tangente quando ci stanno 3 incognite non l'ho trovata da nessuna parte
nei punti in cui $x+y ne 0$,l'equazione della superficie è equivalente alla seguente $z=(3-xy)/(x+y)$
Ricordando la definizione
Un insieme $C\subseteq\RR^n$ si dice aperto se ogni $x\in C$ è punto interno. $C$ si dice chiuso se il complementare di $C$ è aperto.
Per convenzione, tra gli insiemi aperti si considera anche l'insieme $\emptyset;$ poichè $\RR^n$ è aperto e l'insieme vuoto è il complementare di $\RR^n,$ segue che $\RR^n$ è anche chiuso, discorso analogo per l'insieme vuoto: $\RR^n$ e $\emptyset$ sono gli unici insiemi che sono sia aperti sia chiusi. E' interessante notare che se siamo in dimensione $1,$ $\RR$ è aperto (oltre che chiuso), ma in dimensione $n>1$ ogni retta è un iniseme chiuso di $\RR^n.$ Analogamente, $\RR^2$ è aperto, oltre che chiuso, ma in $\RR^3$ ogni piano (supeficie) è un sottoinsieme chiuso di $\RR^n.$
Un insieme $C\subseteq\RR^n$ si dice aperto se ogni $x\in C$ è punto interno. $C$ si dice chiuso se il complementare di $C$ è aperto.
Per convenzione, tra gli insiemi aperti si considera anche l'insieme $\emptyset;$ poichè $\RR^n$ è aperto e l'insieme vuoto è il complementare di $\RR^n,$ segue che $\RR^n$ è anche chiuso, discorso analogo per l'insieme vuoto: $\RR^n$ e $\emptyset$ sono gli unici insiemi che sono sia aperti sia chiusi. E' interessante notare che se siamo in dimensione $1,$ $\RR$ è aperto (oltre che chiuso), ma in dimensione $n>1$ ogni retta è un iniseme chiuso di $\RR^n.$ Analogamente, $\RR^2$ è aperto, oltre che chiuso, ma in $\RR^3$ ogni piano (supeficie) è un sottoinsieme chiuso di $\RR^n.$
"stormy":
è chiuso perchè è una superficie
Risposta incompleta, IMHO.
"stormy":
per la non limitatezza basta osservare,ad esempio,che la sua proiezione sul piano $z=0$ è l'iperbole di equazione $xy=3$
Falso.
"stormy":
[quote="Bisteccone"]quindi un'insieme in 3 variabili è sempre chiuso perché è una superficie,
un insieme rappresentato da un'equazione
"Bisteccone":
mentre non ho ben capito il concetto di limitatezza, basta trovare una sua proiezione che non sia limitata?
è una strada come un'altrahttps://www.matematicamente.it/forum/posting.php?mode=quote&f=36&p=876598#tabs
"Bisteccone":
inoltre devo scrivere l'equazione del piano tangente a W in (1,1,1), la formula del piano tangente quando ci stanno 3 incognite non l'ho trovata da nessuna parte
nei punti in cui $x+y ne 0$,l'equazione della superficie è equivalente alla seguente $z=(3-xy)/(x+y)$[/quote]
ok, capito, allora mi riconduco ad una funzione in due variabili
solo una cosa, l'ultimo punto mi chiede di trovare la distanza minima dall'origine, come faccio?
"gugo82":
[quote="stormy"]è chiuso perchè è una superficie
Risposta incompleta, IMHO.
"stormy":
per la non limitatezza basta osservare,ad esempio,che la sua proiezione sul piano $z=0$ è l'iperbole di equazione $xy=3$
Falso.[/quote]
scusa, puoi spiegarmi le motivazioni?
sarei curioso di sapere anche io perchè la proiezione della superficie sul piano z=0 non è quella che ho detto io
se poi ne facciamo una questione di parole ,la cosa è stucchevole
se poi ne facciamo una questione di parole ,la cosa è stucchevole
SI tratta di un problema di minimo vincolato, ossia determinare
\[\min_{W} f\]
dove
\[W:=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:xy+yz+zx−3=0\right\},\]
e
\[f(x,y,z):= x^2+y^2+z^2.\]
\[\min_{W} f\]
dove
\[W:=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:xy+yz+zx−3=0\right\},\]
e
\[f(x,y,z):= x^2+y^2+z^2.\]
ma che stai dicendo ?
la superficie non è limitata perchè non è contenuta in nessuna sfera di centro l'origine
la superficie non è limitata perchè non è contenuta in nessuna sfera di centro l'origine
e poi,anche l'obiezione sulla superficie...
vogliamo forse negare che nella topologia naturale una superficie è un chiuso ?
che cavolo vuol dire risposta incompleta ?
vogliamo forse negare che nella topologia naturale una superficie è un chiuso ?
che cavolo vuol dire risposta incompleta ?
@bisteccone
tutti i punti della superficie che si trovano sul piano $z=0$ non sono contenuti in nessuna sfera di centro l'origine
tutti i punti della superficie che si trovano sul piano $z=0$ non sono contenuti in nessuna sfera di centro l'origine
"Bisteccone":
ragazzi, come faccio a provare che questo insieme è chiuso ma non limitato?
$W=[(x,y,z)inR^3:F(x,y,z)=xy+yz+zx-3=0]$
Chiusura. Dato che la funzione \(F:\mathbb{R}^3 \ni (x,y,z)\to xy+yz+zx-3 \in \mathbb{R}\) è continua, anzi di classe \(C^\infty\), ogni insieme di livello \(W(k):= \{F(x,y,z)=k\}\) è chiuso: infatti, \(W(k)\) è il complementare dell'insieme \(\{F(x,y,z)
In particolare, l'insieme \(W=W(0)\) è chiuso.
Illimitatezza. L'intersezione dell'insieme \(W\) con il piano coordinato \(Oxy\) è individuata dalle soluzioni del sistema:
\[
\begin{cases}
F(x,y,z)=0\\
z=0
\end{cases}
\]
il quale è equivalente a:
\[
\begin{cases}
x\ y=3\\
z=0
\end{cases}\; .
\]
Pertanto l'intersezione \(W\cap \{z=0\}\) è l'iperbole equilatera del piano \(Oxy\) di equazione \(xy=3\). Dato che tale iperbole non è limitata (poiché non la si può racchiudere in un cerchio del piano \(Oxy\), e dunque non si può racchiudere nemmeno in una palla dello spazio \(Oxyz\)), a maggior ragione non può essere limitato l'insieme \(W\).
@stormy:
"stormy":
sarei curioso di sapere anche io perchè la proiezione della superficie sul piano z=0 non è quella che ho detto io
se poi ne facciamo una questione di parole ,la cosa è stucchevole
Beh, quella che hai individuato tu è l'intersezione di \(W\) con \(\{z=0\}\), non certo la proiezione di \(W\) su tale piano.
La proiezione di \(W\) sul piano \(\{z=0\}\) è infatti caratterizzata come segue:
\[
\operatorname{proj}_{\{z=0\}} W := \{(x,y,0)\in \mathbb{R}^3:\ \exists z\in \mathbb{R}:\ F(x,y,z)=0\}
\]
e si vede, ad esempio, che il punto \((1,1,0)\) appartiene a \(\operatorname{proj}_{\{z=0\}} W\) (perchè?) pur non appartenendo a \(W \cap \{z=0\}\).
Ergo \(\operatorname{proj}_{\{z=0\}} W \neq W \cap \{z=0\}\) (e, per la precisione, \(\operatorname{proj}_{\{z=0\}} W \supset W \cap \{z=0\}\)).
"stormy":
e poi,anche l'obiezione sulla superficie...
vogliamo forse negare che nella topologia naturale una superficie è un chiuso ?
che cavolo vuol dire risposta incompleta ?
Chi ti dice che l'insieme \(W\) sia una superficie? L'hai dimostrato?
E poi, cosa intendi per superficie?
comunque è vero,proiezione è proprio un'altra cosa(la proiezione di una superficie è una superficie)
io intendevo quello che ho scritto nel penultimo post: la sezionedella superficie determinata dal piano $z=0$
io intendevo quello che ho scritto nel penultimo post: la sezionedella superficie determinata dal piano $z=0$
oki grazie a tutti, più o meno ho capito il concetto. invece come faccio a trovare la minima distanza dall'origine?
inoltre se ho come insieme $3x^2+2xy+3y^2-1=0$ ovvero solo a due incognite
come provo che è chiuso?
inoltre se ho come insieme $3x^2+2xy+3y^2-1=0$ ovvero solo a due incognite
come provo che è chiuso?
Sempre nello stesso modo che suggeriva Gugo. Per la minima distanza dall'origine, invece, scrivi un problema di minimo vincolato per la funzione $f(x,y,z)=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ con vincolo la funzione che definisce la superficie. Ovviamente, puoi farlo anche per la funzione $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$ (perché?)
perchè prendiamo proprio questa funzione? e se dovessi trovare la distanza non dall'origine ma da un punto (a,b,c) che faccio?
Dì un po', ma lo sia qual è la distanza Euclidea, per definizione? Perché $\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ E' la distanza dall'origine. mentre da un punto qualsiasi è
$$\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2}$$
Però, prima di mettersi a chiedere come fare cosa, uno dovrebbe avere il buon senso di cercare, su libri e internet, le cose che non sa!
$$\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2}$$
Però, prima di mettersi a chiedere come fare cosa, uno dovrebbe avere il buon senso di cercare, su libri e internet, le cose che non sa!
ok grazie
"gugo82":
Chi ti dice che l'insieme W sia una superficie? L'hai dimostrato?
compiamo questa difficilissima impresa
abbiamo una $g(x,y,z)=0$ tale che
1) $g$ è di classe $C^1$
2)il gradiente non è mai nullo
quindi,non solo è una superficie,ma non è nemmeno clandestina : è regolare
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