Insieme - Trovare il derivato, l'aderenza, ...
Esercizio: Sia dato $E = { ( k + 1)/k + n/3^k : k , n in NN , k >= 1 , 0 <= n <= 2^k }$
Determinare il derivato, l'aderenza, l'interno e la frontiera di $E$.
Idee:
Il generico elemento si può scrivere nel seguente modo:
$( 1 + 1/k ) + n/3^k$
$( 1 + 1/k )$ è una successione limitata. La scelta di $n$ è in qualche modo dipendente da $k$ e, se considero $k$ fissato, il valore di $n$ per il quale $n/3^k$ è maggiore è $n = 2^k$. Quindi:
$( 1 + 1/k ) + (n(k))/3^k <= ( 1 + 1/k ) + (2/3)^k <= 8/3$ (*)
La funzione a destra è monotona decrescente. Facendo il limite per $k -> +oo$ di $( 1 + 1/k ) + (2/3)^k$ si ottiene $1$ che è l'inf dell'insieme degli elementi del tipo $( 1 + 1/k ) + (2/3)^k$.
A parte queste considerazioni, non so svolgere l'esercizio. Qualcuno può soccorrermi?
Determinare il derivato, l'aderenza, l'interno e la frontiera di $E$.
Idee:
Il generico elemento si può scrivere nel seguente modo:
$( 1 + 1/k ) + n/3^k$
$( 1 + 1/k )$ è una successione limitata. La scelta di $n$ è in qualche modo dipendente da $k$ e, se considero $k$ fissato, il valore di $n$ per il quale $n/3^k$ è maggiore è $n = 2^k$. Quindi:
$( 1 + 1/k ) + (n(k))/3^k <= ( 1 + 1/k ) + (2/3)^k <= 8/3$ (*)
La funzione a destra è monotona decrescente. Facendo il limite per $k -> +oo$ di $( 1 + 1/k ) + (2/3)^k$ si ottiene $1$ che è l'inf dell'insieme degli elementi del tipo $( 1 + 1/k ) + (2/3)^k$.
A parte queste considerazioni, non so svolgere l'esercizio. Qualcuno può soccorrermi?
Risposte
Ma con la topologia euclidea? Se sì, l'interno dovrebbe essere nullo perché è un insieme fatto da punti, quindi nessun aperto è contenuto in essi.
Per quanto riguarda il derivato, sicuramente $1$ è di accumulazione. Per gli altri punti, devi vedere se per ogni intorno di quel punto trovi altri punti che ci cadono. Io ragionerei così: aumentare $n$ non ci risolve molto, perché ci allontana dal punto su cui centriamo l'intorno, invece di fornirci punti "abbastanza vicini" tali che qualsiasi intorno prendo ci "cascano dentro" (perdona il linguaggio grossolano: è per fare prima
). Perciò, dico che $AAn<2^(k+1)$, riesco a trovare un $\epsilon_0$ tale che $1+1/(k+1)+n/3^(k+1)<1+1/(\epsilon_0)+n/3^(\epsilon_0)<1+1/k+n/3^k$.
Infatti, fissato $n$, sfruttando la decrescenza di entrambi gli addendi della funzione, prendo $k<\epsilon_0
Ora sto ragionando velocemente, quindi può darsi che io stia facendo una marea di errori. Però spero di riuscire a farti capire almeno in linea generale come intendo procedere.
Ora che hai il derivato, puoi trovare facilmente la chiusura $bar(E)$.
Per la frontiera, io considererei che $bar(E)=delEuuInt(E)$, dove ho indicato rispettivamente la frontiera e l'interno di $E$. Considerando che l'interno è vuoto,...
Per quanto riguarda il derivato, sicuramente $1$ è di accumulazione. Per gli altri punti, devi vedere se per ogni intorno di quel punto trovi altri punti che ci cadono. Io ragionerei così: aumentare $n$ non ci risolve molto, perché ci allontana dal punto su cui centriamo l'intorno, invece di fornirci punti "abbastanza vicini" tali che qualsiasi intorno prendo ci "cascano dentro" (perdona il linguaggio grossolano: è per fare prima
). Perciò, dico che $AAn<2^(k+1)$, riesco a trovare un $\epsilon_0$ tale che $1+1/(k+1)+n/3^(k+1)<1+1/(\epsilon_0)+n/3^(\epsilon_0)<1+1/k+n/3^k$.Infatti, fissato $n$, sfruttando la decrescenza di entrambi gli addendi della funzione, prendo $k<\epsilon_0
Ora sto ragionando velocemente, quindi può darsi che io stia facendo una marea di errori. Però spero di riuscire a farti capire almeno in linea generale come intendo procedere.
Ora che hai il derivato, puoi trovare facilmente la chiusura $bar(E)$.
Per la frontiera, io considererei che $bar(E)=delEuuInt(E)$, dove ho indicato rispettivamente la frontiera e l'interno di $E$. Considerando che l'interno è vuoto,...
"Antimius":Beh veramente tutti gli insiemi sono fatti di punti!
Ma con la topologia euclidea? Se sì, l'interno dovrebbe essere nullo perché è un insieme fatto da punti
Anche $(0, 1)$, ad esempio. In realtà è chiaro cosa vuoi dire, intendi che è un insieme "punteggiato", intuitivamente. Ma bisogna formalizzare questa cosa.
Ops:-D:-D Sì, esatto. Mmh, si potrebbe che qualunque intorno dei punti di $E$ contiene elementi non appartenenti ad $E$. E questo si può mostrare in modo analogo al ragionamento fatto per i punti di accumulazione. Piuttosto, credi che possa andare?
(Ora stacco, a domani!)
(Ora stacco, a domani!
)
Si che può andare. Così dimostri che il complementare di $E$ è denso in $RR$, il che è proprio equivalente a dimostrare che $E$ ha parte interna vuota.
C'è anche un modo più veloce: osservare che si tratta di un insieme numerabilmente infinito. Qualsiasi sottoinsieme $X$ di $RR$ con interno non vuoto deve contenere almeno un intervallo, e dunque un insieme infinito non numerabile. Perciò ogni sottoinsieme finito oppure numerabilmente infinito deve avere l'interno vuoto. Naturalmente per applicare questo bisogna sapere che ogni intervallo è infinito non numerabile, fatto fondamentale ma non ovvio.
C'è anche un modo più veloce: osservare che si tratta di un insieme numerabilmente infinito. Qualsiasi sottoinsieme $X$ di $RR$ con interno non vuoto deve contenere almeno un intervallo, e dunque un insieme infinito non numerabile. Perciò ogni sottoinsieme finito oppure numerabilmente infinito deve avere l'interno vuoto. Naturalmente per applicare questo bisogna sapere che ogni intervallo è infinito non numerabile, fatto fondamentale ma non ovvio.
Ma con la topologia euclidea? Se sì, l'interno dovrebbe essere nullo perché è un insieme fatto da punti, quindi nessun aperto è contenuto in essi.
Per quanto riguarda il derivato, sicuramente $1$ è di accumulazione.
Va benissimo. La ragione è che $1$ è il limite per $k -> oo$, $AA$ $n$, con $0 <= n <= 2^k$. Giusto?
"Antimius":
aumentare $n$ non ci risolve molto, perché ci allontana dal punto su cui centriamo l'intorno
... Perciò, dico che $AAn<2^(k+1)$,
Non mi è chiaro.
"Antimius":
Ora che hai il derivato, puoi trovare facilmente la chiusura $bar(E)$.
Quindi la chiusura è $E uu { 1}$.
L'interno è vuoto perché nessun punto è interno. Cioè $AA x in E $ non posso trovare un intorno di $x$ tutto contenuto in $E$.
Segue che $E uu {1}$ è la frontiera.
E' corretto?
Quindi l'unica cosa complicata è dimostrare che nessun punto di $E$ è di accumulazione.
Se l'insieme fosse semplicemente $E = { 1 + 1/n , n in NN }$, per esempio, allora basterebbe prendere:
$1 + 1/(n+1) < 1 + 1/epsilon < 1 + 1/n$
$n < epsilon < n + 1$, $epsilon in RR$
Poichè la successione $ 1 + 1/n$ è monotona decrescente, tra un punto $x_(n+1)$ dell'insieme e $x_n$ cadono punti del complementare. Perciò, scegliendo un intorno $U$ di ampiezza sufficientemente piccola, $U_x nn E = {x}$, quindi $E$ non può essere di accumulazione.
Primo problema: Se la distanza è quella euclidea, il ragionamento mi pare funzioni. Nell'esercizio non è specificata la distanza. E' dato uno spazio metrico con distanza $delta$. Come diavolo posso ragionare, allora?
Secondo problema: Per quanto riguarda l'insieme $E$ (quello posto all'inizio), la rogna sono i due parametri. Come me ne sbarazzo?
Se l'insieme fosse semplicemente $E = { 1 + 1/n , n in NN }$, per esempio, allora basterebbe prendere:
$1 + 1/(n+1) < 1 + 1/epsilon < 1 + 1/n$
$n < epsilon < n + 1$, $epsilon in RR$
Poichè la successione $ 1 + 1/n$ è monotona decrescente, tra un punto $x_(n+1)$ dell'insieme e $x_n$ cadono punti del complementare. Perciò, scegliendo un intorno $U$ di ampiezza sufficientemente piccola, $U_x nn E = {x}$, quindi $E$ non può essere di accumulazione.
Primo problema: Se la distanza è quella euclidea, il ragionamento mi pare funzioni. Nell'esercizio non è specificata la distanza. E' dato uno spazio metrico con distanza $delta$. Come diavolo posso ragionare, allora?
Secondo problema: Per quanto riguarda l'insieme $E$ (quello posto all'inizio), la rogna sono i due parametri. Come me ne sbarazzo?
In realtà, credo che il fatto che $1$ sia il limite ti garantisca soltanto che sia un punto di aderenza. Infatti, se avessi una successione costante, il punto non sarebbe di accumulazione. Ma considerata la stretta monotonia, penso che vada bene.
Sì, certo. Se l'interno è vuoto, frontiera e chiusura coincidono.
Non dà nessuna informazione sulla metrica? Perché se fosse una metrica discreta, anche i singoli punti sarebbero degli aperti, il che cambierebbe completamente le cose O.O
EDIT: ho cancellato una parte perché mi ero accorto di aver scritto idiozie
Ora scrivo ciò che ho in mente di fare
Sì, certo. Se l'interno è vuoto, frontiera e chiusura coincidono.
Non dà nessuna informazione sulla metrica? Perché se fosse una metrica discreta, anche i singoli punti sarebbero degli aperti, il che cambierebbe completamente le cose O.O
EDIT: ho cancellato una parte perché mi ero accorto di aver scritto idiozie
Ora scrivo ciò che ho in mente di fare
Allora, rieccomi. Premetto che anche io sto facendo di recente esercizi di questo tipo, quindi magari ne discutiamo assieme quando torni online. Quando prima ho detto che ti avrei scritto come avrei fatto, pensavo che l'idea di fondo sia quella di lavorare con maggiorazioni e minorazioni.
In realtà, mi sono accorto di aver sbagliato un segno e quindi viene tutto l'opposto di quel che sarebbe venuto -__-
Infatti, ecco quel che avevo fatto: $1+1/(k+1)+n/3^(k+1)<1+1/(k+1)+(2/3)^(k+1)<1+1/(k+1)+1/2$ (per $k>1$).
Dall'altra parte ho che $1+1/k<1+1/k+n/3^k$
Allora studio la seguente disequazione: $1/(k+1)+1/2<1/khArr1/(k*(k+1))
Ma in realtà, non vale mai per $k>1$ (anche se ancora mi crogiolo nella vana speranza di aver sbagliato un secondo segno )
Non so se a questo punto potremmo lavorare in qualche altro modo, ma non mi viene in mente nulla per ora.
Anche se ora che ci penso, mi ricordo che $x_0inRR$ è di accumulazione per un insieme $AsubeRR$ se e solo se per ogni intorno di $x_0$ cadono INFINITI punti di $A$ distinti da $x_0$. Spero possa aiutarti minimamente.
Ora purtroppo devo studiare per l'esame di analisi, però se mi viene qualche idea, ti faccio sapere.
Ah, ovviamente quando nell'altro post ho usato le disuguaglianze, ho dimostrato che l'interno è vuoto, anche se andando velocemente mi ero confuso e avevo parlato di punti di accumulazione.
In realtà, mi sono accorto di aver sbagliato un segno e quindi viene tutto l'opposto di quel che sarebbe venuto -__-
Infatti, ecco quel che avevo fatto: $1+1/(k+1)+n/3^(k+1)<1+1/(k+1)+(2/3)^(k+1)<1+1/(k+1)+1/2$ (per $k>1$).
Dall'altra parte ho che $1+1/k<1+1/k+n/3^k$
Allora studio la seguente disequazione: $1/(k+1)+1/2<1/khArr1/(k*(k+1))
Ma in realtà, non vale mai per $k>1$ (anche se ancora mi crogiolo nella vana speranza di aver sbagliato un secondo segno
)Non so se a questo punto potremmo lavorare in qualche altro modo, ma non mi viene in mente nulla per ora.
Anche se ora che ci penso, mi ricordo che $x_0inRR$ è di accumulazione per un insieme $AsubeRR$ se e solo se per ogni intorno di $x_0$ cadono INFINITI punti di $A$ distinti da $x_0$. Spero possa aiutarti minimamente.
Ora purtroppo devo studiare per l'esame di analisi, però se mi viene qualche idea, ti faccio sapere.
Ah, ovviamente quando nell'altro post ho usato le disuguaglianze, ho dimostrato che l'interno è vuoto, anche se andando velocemente mi ero confuso e avevo parlato di punti di accumulazione.
"Antimius":
Allora, rieccomi. Premetto che anche io sto facendo di recente esercizi di questo tipo, quindi magari ne discutiamo assieme quando torni online. Quando prima ho detto che ti avrei scritto come avrei fatto, pensavo che l'idea di fondo sia quella di lavorare con maggiorazioni e minorazioni.
In realtà, mi sono accorto di aver sbagliato un segno e quindi viene tutto l'opposto di quel che sarebbe venuto -__-
Infatti, ecco quel che avevo fatto: $1+1/(k+1)+n/3^(k+1)<1+1/(k+1)+(2/3)^(k+1)<1+1/(k+1)+1/2$ (per $k>1$).
Dall'altra parte ho che $1+1/k<1+1/k+n/3^k$
Allora studio la seguente disequazione: $1/(k+1)+1/2<1/khArr1/(k*(k+1))
Ma in realtà, non vale mai per $k>1$ (anche se ancora mi crogiolo nella vana speranza di aver sbagliato un secondo segno
Non so se a questo punto potremmo lavorare in qualche altro modo, ma non mi viene in mente nulla per ora.
Anche se ora che ci penso, mi ricordo che $x_0inRR$ è di accumulazione per un insieme $AsubeRR$ se e solo se per ogni intorno di $x_0$ cadono INFINITI punti di $A$ distinti da $x_0$. Spero possa aiutarti minimamente.
Ora purtroppo devo studiare per l'esame di analisi, però se mi viene qualche idea, ti faccio sapere.
Ah, ovviamente quando nell'altro post ho usato le disuguaglianze, ho dimostrato che l'interno è vuoto, anche se andando velocemente mi ero confuso e avevo parlato di punti di accumulazione.
Mi è più chiaro per quanto riguarda ciò che hai scritto prima. Ma da dove vengono le disuguaglianze scritte poc'anzi?
Per la storia degli "INFINITI punti" si può dimostrare che se in ogni intorno del punto cadono punti distinti da $E$, allora in ogni intorno del punto ne cadono infiniti. Si può usare questo risultato per osservare che gli insiemi finiti non hanno punti di accumulazione.
P.S.: Anche io sono alle prese con l'esame di Analisi 1.
Le disuguaglianze le ho scritte perché al post precedente avevo detto che ti avrei scritto come avevo intenzione di fare. Ma poi mi sono reso conto di aver sbagliato. Le disuguaglianze sono giuste, ma alla fine mi sono reso conto che $1/(k*(k+1))<-1/2$ non vale per $k>1$ e quindi non ci è utile. Se fosse stato vero invece, avremmo risolto unendo le due -__-
Per quanto riguarda gli infiniti punti, ho capito cosa intendi. Però, intendevo che magari si riesce a dimostrare che in un intorno di un punto di $E$ non ci sono infiniti punti di $E$. Se riuscissimo a risolverla con le diseguaglianze, ci toglieremmo di torno tutto quanto. Non so, può darsi anche c'entrino altre proprietà che ora non mi vengono in mente, perché sto parecchio indietro a topologia per dirtela tutta
Ma poi la questione della metrica? Non ti dava nessuna informazione a riguardo?
P.S./O.T.: Io devo dare Analisi3 ma sto in megaritardo perché ho fatto il passaggio da ingegneria a matematica da poco. Teoricamente dovrei dare anche Analisi2 che a mate l'hanno fatto l'anno scorso
Per quanto riguarda gli infiniti punti, ho capito cosa intendi. Però, intendevo che magari si riesce a dimostrare che in un intorno di un punto di $E$ non ci sono infiniti punti di $E$. Se riuscissimo a risolverla con le diseguaglianze, ci toglieremmo di torno tutto quanto. Non so, può darsi anche c'entrino altre proprietà che ora non mi vengono in mente, perché sto parecchio indietro a topologia per dirtela tutta
Ma poi la questione della metrica? Non ti dava nessuna informazione a riguardo?
P.S./O.T.: Io devo dare Analisi3 ma sto in megaritardo perché ho fatto il passaggio da ingegneria a matematica da poco. Teoricamente dovrei dare anche Analisi2 che a mate l'hanno fatto l'anno scorso
"Antimius":Evidentemente si intende che la metrica è quella usuale della retta reale.
Ma poi la questione della metrica? Non ti dava nessuna informazione a riguardo?
Sì, infatti, anche io avevo pensato fosse quella. Solitamente è così se non viene specificata, però non avevo capito se avesse maggiori informazioni a riguardo, perché prima aveva nominato una metrica $\delta$
"Antimius":
Ma poi la questione della metrica? Non ti dava nessuna informazione a riguardo?
Probabilmente è come scrive Dissonance, altrimenti diventa un macello.
Sìsì, certo. Anche perché come ho detto in uno dei post precedenti, prendi la metrica discreta. Cambia tutto O.o
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