Insieme R dei numeri reali: una curiosità
l'insieme costituito dalle cifre di un numero irrazionale trascendente, e.g. del pi greco, è numerabile?
E quello costituito dalle cifre di un numero irrazionale algebrico?
E quello costituito dalle cifre di un numero irrazionale algebrico?
Risposte
Ciao e benvenuto. Temo di non aver capito bene la tua domanda perché mi verrebbe da rispondere che in entrambi i casi sono al più 10 cifre (se lavori in base 10) altrimenti b-1 se b è la base in cui scrivi i numeri.
Fissata una base $b\in NN$ con $b>=2$, le cifre disponibili sono esattamente $b$; quindi l'insieme delle cifre di ogni numero è finito.
Però non credo che aiolos intendesse questo.
Secondo me avrebbe voluto sapere se la parte decimale di $pi$ (ovvero la rappresentazione numerica della parte frazionaria di $pi$), ad esempio, è "infinita".
Per me la questione non ha molto senso: infatti ogni mumero reale (e quindi i razionali) può essere rappresentato sempre con parte decimale avente un "infinità numerabile di cifre decimali" (casomai tutte uguali da un certo punto in poi; ad esempio $3/2=1,4999\ldots=1,4\bar(9)$).
Però non credo che aiolos intendesse questo.
Secondo me avrebbe voluto sapere se la parte decimale di $pi$ (ovvero la rappresentazione numerica della parte frazionaria di $pi$), ad esempio, è "infinita".
Per me la questione non ha molto senso: infatti ogni mumero reale (e quindi i razionali) può essere rappresentato sempre con parte decimale avente un "infinità numerabile di cifre decimali" (casomai tutte uguali da un certo punto in poi; ad esempio $3/2=1,4999\ldots=1,4\bar(9)$).
Giusto per aggiungere una cosa a forza:
quando hai un insieme infinito, e riesci ad elencarne gli elementi, allora quell'insieme è numerabile. Infatti la definizione di "insieme numerabile" non è altro che la maniera di formalizzare il concetto di insieme che si può "elencare".
Esempio:
i) $X={x_0, x_1, x_2, ...}$. E' numerabile? Sì: la bigezione $XleftrightarrowNN$ è data da $x_n\mapston$.
ii) $RR$. E' numerabile? No: bisogna dimostrarlo a dovere, ma si capisce che non si potrà mai scrivere $RR={r_1, r_2, ...}$. Non ce la facciamo, è un insieme "troppo grosso" per poterlo elencare così.
Ora prendiamo un numero irrazionale, che so, $pi$. Chiamiamo $Y={"cifre decimali di "pi}$. Questo insieme si può elencare, come l'insieme $X$ di sopra? Certo: tu puoi dire $Y={"1a cifra", "2a cifra", "3a cifra", ...}$. E le becchi tutte. Quindi $Y$ è un insieme numerabile.
quando hai un insieme infinito, e riesci ad elencarne gli elementi, allora quell'insieme è numerabile. Infatti la definizione di "insieme numerabile" non è altro che la maniera di formalizzare il concetto di insieme che si può "elencare".
Esempio:
i) $X={x_0, x_1, x_2, ...}$. E' numerabile? Sì: la bigezione $XleftrightarrowNN$ è data da $x_n\mapston$.
ii) $RR$. E' numerabile? No: bisogna dimostrarlo a dovere, ma si capisce che non si potrà mai scrivere $RR={r_1, r_2, ...}$. Non ce la facciamo, è un insieme "troppo grosso" per poterlo elencare così.
Ora prendiamo un numero irrazionale, che so, $pi$. Chiamiamo $Y={"cifre decimali di "pi}$. Questo insieme si può elencare, come l'insieme $X$ di sopra? Certo: tu puoi dire $Y={"1a cifra", "2a cifra", "3a cifra", ...}$. E le becchi tutte. Quindi $Y$ è un insieme numerabile.
grazie a tutti del benvenuto e delle risposte
grazie in modo particolare a dissonance che ha fatto chiarezza tanto nella domanda (del cui scarso rigore mi scuso) uanto nelal risposta!
grazie in modo particolare a dissonance che ha fatto chiarezza tanto nella domanda (del cui scarso rigore mi scuso) uanto nelal risposta!
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