Insieme misurabile secondo Lebesgue ma non boreliano
Sia $\mathcal{L} (RR)$ la tribù dei Lebesgue-misurabili su $RR$ e sia $\mathcal{B} (RR)$ la tribù di Borel su $RR$, cioè la famiglia dei boreliani di $RR$.
Con un po' di teoria degli ordinali si prova che $\mathcal{B} (RR)$ ha cardinalità del continuo $2^{\aleph_0}$.
Sia $C$ l'insieme di Cantor, allora C è compatto e quindi è Lebesgue-misurabile e si vede che ha misura nulla; d'altra parte poiché la misura di Lebesgue è completa ogni sottoinsieme di $C$ è misurabile secondo Lebesgue e quindi $\mathcal{P} (C) \subseteq \mathcal{L} (RR)$. Ma l'insieme di Cantor $C$ ha cardinalità del continuo $2^{\aleph_0}$ e quindi l'insieme delle parti di $C$ ha cardinalità $2^{2^{\aleph_0}}$. Perciò $2^{2^{\aleph_0}} \leq |\mathcal{L} (RR)| $. D'altra parte $mathcal{L} (RR) \subseteq \mathcal{P} (RR)$ e quindi per Cantor-Bernstein si conclude che $2^{2^{\aleph_0}} = |\mathcal{L} (RR)| $.
Ciò prova che la tribù di Borel è strettamente contenuta nella tribù di Lebesgue e che esiste un sottoinsieme di $C$ che non è un boreliano.
Volevo sapere se si può dare un esempio esplicito di un insieme Lebesgue-misurabile ma non boreliano.
Con un po' di teoria degli ordinali si prova che $\mathcal{B} (RR)$ ha cardinalità del continuo $2^{\aleph_0}$.
Sia $C$ l'insieme di Cantor, allora C è compatto e quindi è Lebesgue-misurabile e si vede che ha misura nulla; d'altra parte poiché la misura di Lebesgue è completa ogni sottoinsieme di $C$ è misurabile secondo Lebesgue e quindi $\mathcal{P} (C) \subseteq \mathcal{L} (RR)$. Ma l'insieme di Cantor $C$ ha cardinalità del continuo $2^{\aleph_0}$ e quindi l'insieme delle parti di $C$ ha cardinalità $2^{2^{\aleph_0}}$. Perciò $2^{2^{\aleph_0}} \leq |\mathcal{L} (RR)| $. D'altra parte $mathcal{L} (RR) \subseteq \mathcal{P} (RR)$ e quindi per Cantor-Bernstein si conclude che $2^{2^{\aleph_0}} = |\mathcal{L} (RR)| $.
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Risposte
Potrebbe essere questo?
http://en.wikipedia.org/wiki/Null_set
... in attesa di una risposta seria... sono curioso.
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... in attesa di una risposta seria... sono curioso.
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