Insieme immagine funzione definita per casi

[luk1021]

Buon Pomeriggio
come procedo per risolvere esercizi di questo tipo ?

L’insieme immagine della funzione definita per casi
\(\displaystyle f(x) = \begin{cases}
3^x & \text{$x$ <=1} \\
\frac{4}{x} & \text{$x$ >1}
\end{cases} \)

E' corretto calcolare i limiti per \(\displaystyle x ->1^- e 1^+ \) ?
La risposta corretta in questo caso è \(\displaystyle (0,4) \)

[pilloeffe]

Ciao luk1021,

La funzione proposta

[tex]f(x) = \begin{cases} 3^x & x \le 1 \\ \frac{4}{x} & x > 1 \end{cases}[/tex]

ha dominio $D = \RR $

"luk1021":E' corretto calcolare i limiti per $x \to 1^− $ e per $ x \to 1^+ ? $

Sì, ma non è sufficiente per giungere alla risposta corretta che hai citato, infatti si ha:

$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} 3^x = 3 = f(1) $

$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} 4/x = 4 $

Occorre anche calcolare i limiti agli estremi del dominio $D $:

$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} 3^x = 0 $

$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} 4/x = 0 $