Insieme immagine di una funzione
Scusate ragazzi in giro su internet non ho trovato molto...ho bisogno di capire come si determina l'insieme immagine di una funzione...
Ho questi esercizi:
$ f(x)=2^(-x)- $ |x| $
e po quest'altra:
$f(x)=arctanx+arctan(1/x)$
ho provato a farlo tramite uno studio di funzione ma specie per la prima funzione è impossibile fare un grafico.
Così noto che nella prima funzione,l'insieme immagine di $2^(-x)$ è tra 0 e $ +oo $ così anche il valore assoluto, basta ciò per determinare l'immagine della funzione?
Nella seconda funzione l'immagine di arctanx è tra -pigreca mezzi e pigreca mezzi mentre arctan(1/x) non so..
Poi in un altro esercizio mi chiede di calcolare l'inf e il sup dell'insieme immagine di questa funzione:
$f(x)=x^((1+x)/(x+2))$ in questo caso basta solo calcolare il limite della funzione a $ +oo $ e a $- oo $ ?
Ho questi esercizi:
$ f(x)=2^(-x)- $ |x| $
e po quest'altra:
$f(x)=arctanx+arctan(1/x)$
ho provato a farlo tramite uno studio di funzione ma specie per la prima funzione è impossibile fare un grafico.
Così noto che nella prima funzione,l'insieme immagine di $2^(-x)$ è tra 0 e $ +oo $ così anche il valore assoluto, basta ciò per determinare l'immagine della funzione?
Nella seconda funzione l'immagine di arctanx è tra -pigreca mezzi e pigreca mezzi mentre arctan(1/x) non so..
Poi in un altro esercizio mi chiede di calcolare l'inf e il sup dell'insieme immagine di questa funzione:
$f(x)=x^((1+x)/(x+2))$ in questo caso basta solo calcolare il limite della funzione a $ +oo $ e a $- oo $ ?
Risposte
Per la prima funzione dovresti tracciare il grafico di $2^(-x)$ e quello di $-|x|$ e poi sommarli, per capire come si comporta la funzione.
praticamente anche, solo che mancherà il valore dell'arcotangente che corrisponde a 0, perché $1/x$ non si annulla mai.
No, quello che hai detto vale solo per funzioni definite su tutto l'arco del reali e monotone. Nel tuo caso, invece, devi prima valutare il dominio, poi gli intervalli di monotonia e poi costruire un ragionamento coerente con quello che hai trovato.
Nella seconda funzione l'immagine di arctanx è tra -pigreca mezzi e pigreca mezzi mentre arctan(1/x) non so..
praticamente anche, solo che mancherà il valore dell'arcotangente che corrisponde a 0, perché $1/x$ non si annulla mai.
Poi in un altro esercizio mi chiede di calcolare l'inf e il sup dell'insieme immagine di questa funzione:
$f(x)=x^((1+x)/(x+2))$ in questo caso basta solo calcolare il limite della funzione a $+oo$ e a $-oo$ ?
No, quello che hai detto vale solo per funzioni definite su tutto l'arco del reali e monotone. Nel tuo caso, invece, devi prima valutare il dominio, poi gli intervalli di monotonia e poi costruire un ragionamento coerente con quello che hai trovato.
"@melia":
Per la prima funzione dovresti tracciare il grafico di $2^(-x)$ e quello di $-|x|$ e poi sommarli, per capire come si comporta la funzione.
Nella seconda funzione l'immagine di arctanx è tra -pigreca mezzi e pigreca mezzi mentre arctan(1/x) non so..
praticamente anche, solo che mancherà il valore dell'arcotangente che corrisponde a 0, perché $1/x$ non si annulla mai.
Poi in un altro esercizio mi chiede di calcolare l'inf e il sup dell'insieme immagine di questa funzione:
$f(x)=x^((1+x)/(x+2)) in questo caso basta solo calcolare il limite della funzione a $+oo$ e a $-oo$ ?
No, quello che hai detto vale solo per funzioni definite su tutto l'arco del reali e monotone. Nel tuo caso, invece, devi prima valutare il dominio, poi gli intervalli di monotonia e poi costruire un ragionamento coerente con quello che hai trovato.
grazie mille melia ho compreso come trovare l'inf e il sup dell'ultima funzione per quanto riguarda l'insieme immagine della prima funzione non capisco cosa tu intendi per sommare le 2 funzioni, i grafici me li sono costruiti $2^(-x)$ ha come immagine i valori compresi tra 0 e $ +oo $ mentre $ -|
per quanto riguarda la seconda funzione invece, quindi l'insieme immagine è definito dai valori compresi tra -pigreca mezzi e +pigreca mezzi poichè entrambe le funzioni hanno lo stesso insieme immagine?
"riprendiamola":
non capisco cosa tu intendi per sommare le 2 funzioni
Intendo proprio fare l'addizione tra le ordinate, se $2^(-x)$ in 1 vale $1/2$ e $-|x|$ vale $-1$, allora la loro somma varrà $1/2-1=-1/2$
per quanto riguarda la seconda funzione invece, quindi l'insieme immagine è definito dai valori compresi tra -pigreca mezzi e +pigreca mezzi poichè entrambe le funzioni hanno lo stesso insieme immagine?
No. Se osservi la tangente dell'arco non esiste: $tg(arctgx+arctg\ \1/x)$, la derivata della funzione $arctgx+arctg\ \1/x$ viene nulla per $x!=0$, quindi la funzione dovrebbe essere una costante, sempre per $x!=0$, e tale costante può essere solo un valore dell'arco per cui non esiste la tangente: $pi/2$ oppure $-pi/2$, quindi con un po' di conti, limiti o altro, trovi che per $x<0$ la funzione vale $-pi/2$, mentre per $x>0$ vale $pi/2$.
"@melia":
[quote="riprendiamola"]non capisco cosa tu intendi per sommare le 2 funzioni
Intendo proprio fare l'addizione tra le ordinate, se $2^(-x)$ in 1 vale $1/2$ e $-|x|$ vale $-1$, allora la loro somma varrà $1/2-1=-1/2$
per quanto riguarda la seconda funzione invece, quindi l'insieme immagine è definito dai valori compresi tra -pigreca mezzi e +pigreca mezzi poichè entrambe le funzioni hanno lo stesso insieme immagine?
No. Se osservi la tangente dell'arco non esiste: $tg(arctgx+arctg\ \1/x)$, la derivata della funzione $arctgx+arctg\ \1/x$ viene nulla per $x!=0$, quindi la funzione dovrebbe essere una costante, sempre per $x!=0$, e tale costante può essere solo un valore dell'arco per cui non esiste la tangente: $pi/2$ oppure $-pi/2$, quindi con un po' di conti, limiti o altro, trovi che per $x<0$ la funzione vale $-pi/2$, mentre per $x>0$ vale $pi/2$.[/quote]
okok melia ti ringrazio tantissimo adesso finalmente mi è tutto chiaro...
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