Insieme disequazione complessi
Ho problemi nel risolvere questo esercizio:
$ A={zin mathbb(C): |z-i|<=1-|z|} $
$ B={lambda in mathbb(C) : lambda=root(6)(z) } $
Devo rappresentarli nel piano di Gauss
Risolvo così:
$|z-i|<=1-|z|$
$|z-i|^2<=1-2|z|+|z|^2$
$(z-i)(bar(z)+i)<=1-2|z|+|z|^2$
$i(z-bar(z))<=-2|z|$
$i(z-bar(z))<=-2|z|$
$Im(z)>=|z|$
Trasformando nella forma cartesiana e svolgendo i calcoli
$y>=sqrt(x^2+y^2)$
$x=0$
E da qui non so più andare avanti.
Cosa sto sbagliando?
Grazie mille.
$ A={zin mathbb(C): |z-i|<=1-|z|} $
$ B={lambda in mathbb(C) : lambda=root(6)(z) } $
Devo rappresentarli nel piano di Gauss
Risolvo così:
$|z-i|<=1-|z|$
$|z-i|^2<=1-2|z|+|z|^2$
$(z-i)(bar(z)+i)<=1-2|z|+|z|^2$
$i(z-bar(z))<=-2|z|$
$i(z-bar(z))<=-2|z|$
$Im(z)>=|z|$
Trasformando nella forma cartesiana e svolgendo i calcoli
$y>=sqrt(x^2+y^2)$
$x=0$
E da qui non so più andare avanti.
Cosa sto sbagliando?
Grazie mille.
Risposte
Partiamo dall'inzio: poiché $|z-i|\ge 0$ per definizione dovrai imporre $1-|z|\ge 0$ da cui $|z|\le 1$ (e quindi i punti sono interni al cerchio di centro l'origine e raggio uno). Ora vediamo cosa accade: svolgendo i calcoli come hai fatto trovi la condizione, scritta in forma cartesiana, $y\ge\sqrt{x^2+y^2}$ da cui le due situazioni seguenti:
1) se $y<0$ la disequazione non è mai verificata (hai una quantità negativa maggiore di una positiva, la radice);
2) se $y\ge 0$ elevando al quadrato ambo i membri ottieni $y^2\ge x^2+y^2$ e quindi $x^2\le 0$ che ha come unica soluzione $x=0$.
In definitiva, l'insieme $A$ è definito dalle seguenti condizioni
$|z|=\sqrt{x^2+y^2}\le 1,\quad y\ge 0,\ x=0$
Se disegni queste tre cose nel piano cartesiano otterrai il segmento di retta giacente sulla parte positiva dell'asse delle ordinate, interno alla circonferenza di centro l'origine e raggio $1$. Sotto forma di numero complesso, i suoi elementi sono allora della forma
$z=iy,\ y\in[0,1]$.
Per il secondo: $z$ cos'è? Un numero complesso qualsiasi oppure uno dei valori trovati in $A$?
1) se $y<0$ la disequazione non è mai verificata (hai una quantità negativa maggiore di una positiva, la radice);
2) se $y\ge 0$ elevando al quadrato ambo i membri ottieni $y^2\ge x^2+y^2$ e quindi $x^2\le 0$ che ha come unica soluzione $x=0$.
In definitiva, l'insieme $A$ è definito dalle seguenti condizioni
$|z|=\sqrt{x^2+y^2}\le 1,\quad y\ge 0,\ x=0$
Se disegni queste tre cose nel piano cartesiano otterrai il segmento di retta giacente sulla parte positiva dell'asse delle ordinate, interno alla circonferenza di centro l'origine e raggio $1$. Sotto forma di numero complesso, i suoi elementi sono allora della forma
$z=iy,\ y\in[0,1]$.
Per il secondo: $z$ cos'è? Un numero complesso qualsiasi oppure uno dei valori trovati in $A$?
Chiarissimo!
Sono riuscito a risolvere il secondo insieme.
Sì z appartiene ad A.
Grazie ancora!
Sono riuscito a risolvere il secondo insieme.
Sì z appartiene ad A.
Grazie ancora!
Prego. Giusto per verificare che hai svolto correttamente la seconda parte: dal momento che $z=iy=y(\cos\pi/2+i\sin\pi/2)$ essendo $y\in[0,1]$ i valori di lambda sono dati da
$\lambda_k=\root[6]{y}(\cos({\pi+4k\pi}/{12})+i\sin({\pi+4k\pi}/{12})),\qquad k=0,\ldots, 5$
i quali sono per ogni $y$ fissato sei punti sulla circonferenza di centro l'origine e raggio $\root[6]{y}\ge y$ (in quanto $y\in[0,1]$) posti ciascuno a distanza "angolare" di $\pi/3$ l'uno dall'altro, partendo da quello di posizione angolare $\pi/{12}$ e muovendosi in senso antiorario.
$\lambda_k=\root[6]{y}(\cos({\pi+4k\pi}/{12})+i\sin({\pi+4k\pi}/{12})),\qquad k=0,\ldots, 5$
i quali sono per ogni $y$ fissato sei punti sulla circonferenza di centro l'origine e raggio $\root[6]{y}\ge y$ (in quanto $y\in[0,1]$) posti ciascuno a distanza "angolare" di $\pi/3$ l'uno dall'altro, partendo da quello di posizione angolare $\pi/{12}$ e muovendosi in senso antiorario.
Si ho fatto esattamente così. Grazie.
Avrei bisogno di alcuni chiarimenti anche su un altro esercizio:
$ A={z in mathbb(C) :Im(z-i)=0} $
$ B={lambda in mathbb(C) : lambda=(1-i)z, zinA} $
$ C={lambdain B : |lambda|<=2} $
Il primo insieme è rappresentato dalla retta $ y=1 $
Mentre nel secondo si tratta, se non erro, di una roto-omotetia quindi devo moltiplicare i moduli e sommare gli argomenti.
La retta avrà coefficiente angolare -1 mentre non so come fare per il modulo.
Grazie a chi potrà rispondermi.
Avrei bisogno di alcuni chiarimenti anche su un altro esercizio:
$ A={z in mathbb(C) :Im(z-i)=0} $
$ B={lambda in mathbb(C) : lambda=(1-i)z, zinA} $
$ C={lambdain B : |lambda|<=2} $
Il primo insieme è rappresentato dalla retta $ y=1 $
Mentre nel secondo si tratta, se non erro, di una roto-omotetia quindi devo moltiplicare i moduli e sommare gli argomenti.
La retta avrà coefficiente angolare -1 mentre non so come fare per il modulo.
Grazie a chi potrà rispondermi.
"lallir":
Si ho fatto esattamente così. Grazie.
Avrei bisogno di alcuni chiarimenti anche su un altro esercizio:
$ A=\{z\in \mathbb(C)\ :\ Im(z-i)=0\} $
$ B=\{\lambda\in \mathbb(C)\ :\ \lambda=(1-i)z,\ z\in A} $
$ C={\lambda\in B\ :\ |lambda|<=2} $
Il primo insieme è rappresentato dalla retta $ y=1 $
Mentre nel secondo si tratta, se non erro, di una roto-omotetia quindi devo moltiplicare i moduli e sommare gli argomenti.
La retta avrà coefficiente angolare -1 mentre non so come fare per il modulo.
Grazie a chi potrà rispondermi.
Ho sistemato un po' perché non si capiva. Dunque, il primo è facile: è una retta in quanto se scrivi $z=x+iy$ si ha
$Im(z-i)=Im(x+i(y-1))=y-1$ e quindi $A=\{z=x+i,\ x\in RR\}$ (retta parallela all'asse delle ascisse).
Ho supposto che nel secondo insieme mancasse un $\lambda=$ per cui abbiamo
$\lambda=(1-i)(x+i)=(x+1)+i(1-x)$
Anche tali punti rappresentano una retta: per vederlo puoi scrivere
$X=x+1,\ Y=1-x$
da cui eliminando $x$ si ha $Y=2-X$, che pertanto è una retta di coefficiente angolare $-1$ (parallela alla bisettrice del II e IV quadrante e passante per il punto $(0,2)$ (intercetta all'origine). In particolare la retta si ottiene come rotazione in senso orario di $\pi/4$ della retta $A$, traslazione di vettore $(1,0)$ ed espansione omotetica di fattore $\sqrt{2}$.
Infine, per $C$ abbiamo $|\lambda|\le 2$ con $\lambda\in B$: pertanto devi considerare i punti di $B$ interni alla circonferenza di centro l'origine e raggio $2$. Tali punti sono quelli del segmento della retta precedente che va da $(2,0)$ a $(0,2)$. Usando la rappresentazione precedente, puoi verificare facilmente che
$\lambda=(x+1)+i(1-x)$ con $x\in[-1,1]$.
Ho modificato il post per renderlo più leggibile nel caso sia utile ad altri.
Grazie mille ancora ora è chiaro.
Grazie mille ancora ora è chiaro.
Ho ancora qualche problema:
$ A={zinmathbb(C) : |z|<=2Im(z)} $
$ B={lambdainmathbb(C) : (sqrt(3)-i)z, zinA} $
Dalla prima ricavo le due condizioni
$ y<=-|x|/sqrt(3) $ e $ y>=|x|/sqrt(3) $
Ovvero la regione di piano compresa tra queste due rette.
Per l'insieme B non so come fare.
Immagino l'insieme debba essere ruotato di $ -pi/6 $
e credo dovrebbe essere dilatato di 2.
Grazie mille.
$ A={zinmathbb(C) : |z|<=2Im(z)} $
$ B={lambdainmathbb(C) : (sqrt(3)-i)z, zinA} $
Dalla prima ricavo le due condizioni
$ y<=-|x|/sqrt(3) $ e $ y>=|x|/sqrt(3) $
Ovvero la regione di piano compresa tra queste due rette.
Per l'insieme B non so come fare.
Immagino l'insieme debba essere ruotato di $ -pi/6 $
e credo dovrebbe essere dilatato di 2.
Grazie mille.
Basta capire come "ruotano" le rette: l'insieme $B$ sarà, comunque, ottenuto considerando le due nuove rette e prendendo lo spazio tra esse compreso, esattamente come accade in $A$.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo