Insieme di Vitali
Scusate stavo studiando teoria della misura, stavo vedendo l'insieme di Vitali, ora dato che non sono sicurissima da quali sono le classi di equivalenza che lo compongono, vorrei chiedervi a voi quali sono cosi da eliminare i miei ragionevoli dubbi.
Risposte
"squalllionheart":
Scusate stavo studiando teoria della misura, stavo vedendo l'insieme di Vitali.
Eh eh eh
Vedo che non sono l'unico che tra poco avrà l'esame di teoria della misura (aiutoooo!!!)...Comunque, a parte gli scherzi: l'insieme di Vitali è la costruzione che si utilizza per dimostrare che in $ [0,1]$ esiste un insieme non misurabile o almeno non so se ci sono altri insiemi di vitali a parte questo (anche wikipedia dice solo questo...).
http://it.wikipedia.org/wiki/Insieme_di_Vitali
Le prime 4 righe (di wikipedia) sono più che sufficienti per spiegare le classi di equivalenza che entrano in gioco: tuttavia mi ci cimento anche io in una spiegazione (così mi è utile anche per vedere se ho capito a mia volta!)...
Si parte da questo modo:
si prende la relazione $x$~$y$ se e solo se $x-y=q\in QQ$.
In altre parole, due elementi sono equivalenti, o meglio, sono in relazione di equivalenza se la loro differenza è un razionale. Il fatto è che, a parte particolari condizioni, la differenza tra due reali è reale. La differenza tra due reali è razionale unicamente quando sono entrambi razionali (e pur sempre reali dato che $QQ\subseteq RR$) oppure, proprio quando uno si ottiene sommando all'altro un razionale.
Si creano dunque le seguenti classi: $RR$/~ $= {x+q: x\in RR, q\in QQ}$. Queste classi sono più che numerabili in quanto ce ne è una per ogni reale non razionale per ciò che ho detto in precedenza. Ogni classe però è numerabile in quanto contiene $card(QQ)$ (scrivo la cardinalità così per evitare fraintendimenti) elementi.
Poi, se l'intervallo è $[0,1]$ per avere l'insieme di Vitali in esso si fa l'intersezione tra gli elementi delle classi di equivalenza così costruita e quelli di $[0.1]$.
Spero di aver chiarito qualche dubbio e di non averne creati altri!...
(Anche per me è importante sapere se sono riuscito a spiegare le classi di equivalenza dato che ho l'esame a breve
)In bocca al lupo
Cherie... La relazione [tex]x-y[/tex] non ti ricorda un po' la variante abeliana di [tex]xy^{-1}[/tex] che non è altro che la relazione di equivalenza dei laterali in un gruppo?...
L'insieme [tex][0,1][/tex] ovviamente non è un gruppo ma i "laterali" in pratica sono fatti nello stesso modo. Mi ricordo che avevi fatto un esercizio di topologia su questo tipo di costruzione ma su [tex]\mathbb{R}[/tex]. L'insieme di Vitali non è altro che un elemento per ogni "laterale" (un po' come quando nelle dimostrazioni sui gruppi si prende un rappresentante per ogni classe laterale). Nello stesso modo la differenza tra due elementi di quell'insieme è un numero irrazionale. Penso che in questa ottica possa essere più facile il tutto...
L'insieme [tex][0,1][/tex] ovviamente non è un gruppo ma i "laterali" in pratica sono fatti nello stesso modo. Mi ricordo che avevi fatto un esercizio di topologia su questo tipo di costruzione ma su [tex]\mathbb{R}[/tex]. L'insieme di Vitali non è altro che un elemento per ogni "laterale" (un po' come quando nelle dimostrazioni sui gruppi si prende un rappresentante per ogni classe laterale). Nello stesso modo la differenza tra due elementi di quell'insieme è un numero irrazionale. Penso che in questa ottica possa essere più facile il tutto...
Zero87 speriamo che crepi il lupo!!! Buona fortuna anche a te Sei stato chiaro, grazie.
Comunque credo che le classi siano le stesse che si considerano quando dimostro l'omeomorfismo tra $RR$/~ e $S^1$.
Aspetto una conferma o una smentita
Un bacio Chéri
Sei stato chiaro, grazie. Comunque credo che le classi siano le stesse che si considerano quando dimostro l'omeomorfismo tra $RR$/~ e $S^1$.
Aspetto una conferma o una smentita
Un bacio Chéri
"squalllionheart":
Zero87 speriamo che crepi il lupo!!! Buona fortuna anche a te
Comunque credo che le classi siano le stesse che si considerano quando dimostro l'omeomorfismo tra $RR$/~ e $S^1$.
Aspetto una conferma o una smentita
Un bacio Chéri
No, quello è se prendi come differenza [tex]2\pi\mathbb{Z}[/tex]... Derivante dall'omomorfismo di gruppi dato dalla mappa esponenziale...
Se lo vuoi proprio vedere come gruppo sarebbe [tex](\mathbb{R}/\mathbb{Z})/(\mathbb{Q}/\mathbb{Z}) \cong (\mathbb{R}/\mathbb{Q})[/tex] oppure se preferisci a [tex]U/C[/tex] dove [tex]U[/tex] è il gruppo degli elementi di norma [tex]1[/tex] in [tex]\mathbb{C}[/tex] con la multiplicazione e con [tex]C[/tex] indico il suo sottogruppo formato da tutti gli elementi il cui angolo nella forma trigonometrica è un multiplo razionale di [tex]\pi[/tex].
Grazie Senior Member io sono solo una Average Member, quelli come me dicono *******.
Vorrei fare una domanda:
Il teorema di Vitali richiede l'assioma di scelta per dimostrare che esistono insiemi non misurabili, vorrei chiedervi se sia possibile creare un insieme non misurabile senza l'utilizzo di tale assioma. Grazie.
Il teorema di Vitali richiede l'assioma di scelta per dimostrare che esistono insiemi non misurabili, vorrei chiedervi se sia possibile creare un insieme non misurabile senza l'utilizzo di tale assioma. Grazie.
Credo che a riguardo possa essere interessante questo articolo:
Robert M. Solovay, "Model of Set-Theory in Which Every Set of Reals is Lebesgue Measurable",
The Annals of Mathematics, Second Series, Vol. 92, No. 1 (Jul., 1970), pp. 1-56
(Stable URL: http://www.jstor.org/stable/1970696 )
Robert M. Solovay, "Model of Set-Theory in Which Every Set of Reals is Lebesgue Measurable",
The Annals of Mathematics, Second Series, Vol. 92, No. 1 (Jul., 1970), pp. 1-56
(Stable URL: http://www.jstor.org/stable/1970696 )
Ciao a tutti, vi ringrazio per le risposte.
@Rigel: A quanto ho capito dall' articolo (di cui ho letto solo la prima pagina
) non è possibile dimostrare l'esistenza di un insieme non misurabile nella teoria degli insiemi ZF senza l'uso dell'assioma di scelta. Il fatto che sia impossibile dimostrare che un oggetto esista non implica che questo ente non esista. Io ho interpretato in questo modo, è giusto?
Ancora grazie
@Rigel: A quanto ho capito dall' articolo (di cui ho letto solo la prima pagina
) non è possibile dimostrare l'esistenza di un insieme non misurabile nella teoria degli insiemi ZF senza l'uso dell'assioma di scelta. Il fatto che sia impossibile dimostrare che un oggetto esista non implica che questo ente non esista. Io ho interpretato in questo modo, è giusto?Ancora grazie
Esatto.
Significa che, se vuoi costruire un insieme non misurabile, devi usare l'assioma della scelta.
Significa che, se vuoi costruire un insieme non misurabile, devi usare l'assioma della scelta.
La cosa non è chiara, come già dicevo in una citazione di un altro utente. Esiste un modo per costruire un insieme non misurabile in $\RR$ che fa solo uso del Teorema di Hahn-Banach, il quale classicamente è però dimostrato usando l'assioma delle scalta. Però pare che esista una dimostrazione alternativa, molto più astratta, che non fa uso dell'assioma della scelta, ma forse di una forma molto più debole, ma non ho capito una virgola di quel lavoro.
Interessante.
Hai qualche riferimento bibliografico?
Hai qualche riferimento bibliografico?
Devo ricercare i lavori che ho citato a parole, quando li trovo metto le referenze qui: la costruzione dell'insieme non misurabile è leggibilissima, il lavoro su hahn banach è impossibile, almeno per me.
Grazie a tutti, a quanto ho capito la questione è fuori della mia portata 
, però mi piacerebbe ugualmente darci un'occhiata .
, però mi piacerebbe ugualmente darci un'occhiata .
@luca.lussardi:
ho trovato ciò a cui ti riferivi su wikipedia:
http://en.wikipedia.org/wiki/Hahn%E2%80 ... ch_theorem
Purtroppo non ho accesso all'articolo di Brown e Simpson (che comunque non sarei in grado di leggere...).
Si fa riferimento al lemma di Konig
http://en.wikipedia.org/wiki/K%C3%B6nig%27s_lemma
Per quanto ne ho capito, AC numerabile non è sufficiente per costruire insiemi non misurabili (come dimostrato da Solovay); il lemma di Konig è invece sufficiente per effettuare questa costruzione. Dovrebbe dunque trovarsi in una posizione intermedia fra AC numerabile e AC.
ho trovato ciò a cui ti riferivi su wikipedia:
http://en.wikipedia.org/wiki/Hahn%E2%80 ... ch_theorem
Purtroppo non ho accesso all'articolo di Brown e Simpson (che comunque non sarei in grado di leggere...).
Si fa riferimento al lemma di Konig
http://en.wikipedia.org/wiki/K%C3%B6nig%27s_lemma
Per quanto ne ho capito, AC numerabile non è sufficiente per costruire insiemi non misurabili (come dimostrato da Solovay); il lemma di Konig è invece sufficiente per effettuare questa costruzione. Dovrebbe dunque trovarsi in una posizione intermedia fra AC numerabile e AC.
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