Insieme di variabilità in coordinate polari

[Mrkekko921]

Premetto che questo esercizio già è presente su questo forum ma volevo delle precisazioni diverse riguardo all'esercizio.

Determinare le coordinate del baricentro del seguente dominio :
$ D={(x,y):9<=x^2+y^2<=8y } $

Passando a coordinate polari mi trovo che $ 3<=r<=8sen $ , ora non riesco a capire dove deve variare l'angolo teta. Mi serveribbe capire con quale procedimento dovrei arrivare all'insieme di variabilità di teta. E' un problema che mi ricapita quasi sempre negli esercizi dove bisogna passare a coordinate polari!!

Grazie in anticipo.

[Lory314]

"Mrkekko92":
Passando a coordinate polari mi trovo che $ 3<=r<=8sen\theta$

Non penso sia corretto questo risultato. Ti consiglio di ricontrollarlo

[Mrkekko921]

scusa effettuando il passaggio a coordinate polari

x= rcos(t)
y= rsen(t)

Il dominio mi viene $ 9<=r^2(cos^2 + sen^2)<8rsen(t) $ da cui poi sono arrivato al dominio che ho scritto nel primo post.

Se potreste rispondermi anche alla seconda domanda riguardo l'insieme di variabilità di teta mi fareste un gran piacere.

[Lory314]

"Mrkekko92":
Il dominio mi viene $ 9<=r^2(cos^2 + sen^2)<8rsen(t) $ da cui poi sono arrivato al dominio che ho scritto nel primo post.

Mi pare che tra questo e quello che hai scritto nel primo post ci siano delle differenze. Ora è corretto.

Osserva che:
1) l'ascissa per ovvi motivi è 0;
2) per simmetria dell'integranda ($f(x,y)=y$) e del dominio rispetto all'asse delle $y$ puoi considerare solo la parte di dominio che sta nel primo quadrante. Quindi l'angolo che utilizzerai nelle coordinate polari varia tra $-\frac{\pi}{2}$ e $\frac{\pi}{2}$;

Bene. Ora da $ 9<=r^2<8rsen(t) $ hai 3 disuguaglianze:

1) $9\leq r^2$ da cui si ricava $r \geq 3$;
2) $r^2<8rsen(t)$ da cui $r \leq 8 \sin(t)$;

1) + 2) forniscono il range in cui varia $r$: $3 \leq r \leq 8\sin(t)$;

3) $9 \leq 8r\sin(t)$ da cui hai che $sin(t)>\frac{9}{8r}$; essendo $r>3$ si ha che $sin(t)>\frac{9}{8\cdot3}=\frac{3}{8}$;
sfruttando la limitazione sull'angolo sopra evidenziata, si ottiene quindi che $\arcsin(3/8)\leqt\leq\frac{\pi}{2}$

[Mrkekko921]

Grazie mille sei stato gentilissimo