Insieme di funzioni derivabili

[bimba1]

Buonasera!ieri ho fato l'esame di analisi e un esercizio che non sono riuscita a fre mi sta affliggendo... Dato l'insieme delle $f(x)$ continue e derivabili due volte in $[0;2]$ con $-1

[sylowww]

Supponiamo per assurdo che esista una funzione g che soddisfa le condizioni assegnate.

1. Applico il teorema di Lagrange alla funzione g nell'intervallo [0,1]; allora deve esistere un punto c appartenente all'intervallo (0,1) tale che:
g(1)-g(0)=g'(c)(1-0)
Essendo g(1)=10 e g(0)=0, si deduce che:
g'(c)=10

2. Posso applicare il teorema di Lagrange alla funzione g' nell'intervallo [0,c] (infatti essenso g derivabile due volte in [0,2], g' è derivabile una volta, e quindi continua, in [0,2] ; dunque g' sarà continua in [0,c] e derivabile in (0,c)). Si deduce che deve esistere un punto d appartenente all'intervallo (0,c) tale che:
g'(c)-g'(0)=g''(d)(c-0)
Essendo g'(c)=10 e g'(0)=0, si deduce che d deve essere tale che:
g''(d)*c = 10, da cui $g''(d)=10/c$ . Ma per quanto visto al punto precedente, risulta $010$. Ma allora doverebbe essere $g''(d)>10$. Ciò contraddice l'ipotesi che g'' sia compresa tra -1 e 1.

3. Dunque non può esistere alcuna funzione che soddisfi le ipotesi indicate.

[bimba1]

grazie mille!! sei stato davvero molto chiaro....grazie ancora!