Insieme di derivabilità.
Buonasera e buon fine settimana,
Sto studiando la derivabilità della seguente funzione
Il dominio $X$ di $f$ è $X=\mathbb{R}-{1}$ e continua in $X$. Per quanto riguarda la derivabilità, sono iun pò confuso, cioè per poter determinare l'insieme di derivabilità di $f$ come posso procedere ??
Grazie
Sto studiando la derivabilità della seguente funzione
$ln(|e^(2x)-e^2|)-|2x|$
Il dominio $X$ di $f$ è $X=\mathbb{R}-{1}$ e continua in $X$. Per quanto riguarda la derivabilità, sono iun pò confuso, cioè per poter determinare l'insieme di derivabilità di $f$ come posso procedere ??
Grazie
Risposte
Ad esempio, la funzione $2|x|$, ha presente com'e' fatta ?
In che punto non e' derivabile ?
In che punto non e' derivabile ?
[strike]Se $f$ è un polinomio, allora gli zeri di $f$ sono punti di non derivabilità per $|f|$[/strike]
Controesempi nei post successivi
Controesempi nei post successivi
"feddy":
Se $f$ continua, allora gli zeri di $f$ sono punti di non derivabilità per $|f|$
Innanzitutto, questo non e' sempre vero. Infatti se $f = |cos x +1|$, gli zeri sono derivabili.
Invece di ricavare delle leggi generali, stabilisci dove $|2x|$ non e' derivabile e anche dove non e' derivabile l'altro addendo della funzione.
Ops ovviamente intendevo $f$ polinomio. Correggo il mio post, grazie 
Sei sicuro? A occhio mi pare che anche $|x^2|$ sia tutta derivabile ed anche $|x^2-2x+1|$ ...
Niente non è giornata oggi fare troppe cose contemporaneamente non va mai bene. Scusate:)
fare troppe cose contemporaneamente non va mai bene. Scusate:)
Buongiorno,
innanzitutto vi ringrazio per le risposte.
Ora se prendo in considerazione l'ultima risposta di Quinzio, potrei rispondere nel seguente modo "non so, se corretto", ecco:
L'insieme di definizione $X$ di $f(x)$ è $X={\mathbb{R}-{1}}$ come detto. Per quanto riguarda la determinazione di $X'$ cioè l'insieme in cui $f$ è derivabile, potrei ragionare nel seguente modo:
La funzione valore assoluto è derivabile in $mathbb{R^*}$ cioè coincide con $mathbb{R}-{0}$,
Per cui la funzione $2|x|$ è derivabile in $mathbb{R^*}$.
La funzione $ ln|e^(2x)-e^2|$, è derivabile in $A'={x in X : g(x)>0 }$, quindi
$g(x)>0 to |e^(2x)-e^2|>0 to (e^(2x)-e^2) ne 0 to e^(2x) ne e^2 to x ne 1 $.
Il punto $beta=1$ non appartiene al dominio di $f$ per cui non lo prendo in considerazione.
Quindi potrei dire che l'insieme di derivabilità $X'$ di $f$ è definito come $X'=X-{0}$
Per la determinazione della natura di tale punto, procedo nel seguente modo:
$x_0=0$
$lim_{h to 0^+}(f(0+h)-f(0))/(h)=lim_{h to 0^+}((ln|e^(2h)-e^2|-|2h|)-ln|e^2|)/(h)=lim_{h to 0^+}((ln|e^(2h)(1-e^(2-2h))|-|2h|)-ln|e^2|)/(h)=lim_{h to 0^+}((ln|e^(2h)|ln|1-e^(2-2h)|-|2h|)-ln|e^2|)/(h)=lim_{h to 0^+}((ln|1-e^(2-2h)|)/(h)-(ln|e^2|)/(h))=lim_{h to 0^+}(1/h)(lim_{h to 0^+}ln|1-e^(2-2h)|-ln|e^2|)=+ infty$
$lim_{h to 0^-}(f(0+h)-f(0))/(h)=lim_{h to 0^-}((ln|e^(2h)-e^2|-|2h|)-ln|e^2|)/(h)=lim_{h to 0^-}((ln|e^(2h)(1-e^(2-2h))|-|2h|)-ln|e^2|)/(h)=lim_{h to 0^-}((ln|e^(2h)|ln|1-e^(2-2h)|-|2h|)-ln|e^2|)/(h)=lim_{h to 0^-}((ln|1-e^(2-2h)|)/(h)-(ln|e^2|)/(h))=lim_{h to 0^-}(1/h)(lim_{h to 0^-}ln|1-e^(2-2h)|-ln|e^2|)=- infty$
per cui in $x_0=0$ si ha un punto cuspidale.
Buona domenica.
innanzitutto vi ringrazio per le risposte.
Ora se prendo in considerazione l'ultima risposta di Quinzio, potrei rispondere nel seguente modo "non so, se corretto", ecco:
L'insieme di definizione $X$ di $f(x)$ è $X={\mathbb{R}-{1}}$ come detto. Per quanto riguarda la determinazione di $X'$ cioè l'insieme in cui $f$ è derivabile, potrei ragionare nel seguente modo:
La funzione valore assoluto è derivabile in $mathbb{R^*}$ cioè coincide con $mathbb{R}-{0}$,
Per cui la funzione $2|x|$ è derivabile in $mathbb{R^*}$.
La funzione $ ln|e^(2x)-e^2|$, è derivabile in $A'={x in X : g(x)>0 }$, quindi
$g(x)>0 to |e^(2x)-e^2|>0 to (e^(2x)-e^2) ne 0 to e^(2x) ne e^2 to x ne 1 $.
Il punto $beta=1$ non appartiene al dominio di $f$ per cui non lo prendo in considerazione.
Quindi potrei dire che l'insieme di derivabilità $X'$ di $f$ è definito come $X'=X-{0}$
Per la determinazione della natura di tale punto, procedo nel seguente modo:
$x_0=0$
$lim_{h to 0^+}(f(0+h)-f(0))/(h)=lim_{h to 0^+}((ln|e^(2h)-e^2|-|2h|)-ln|e^2|)/(h)=lim_{h to 0^+}((ln|e^(2h)(1-e^(2-2h))|-|2h|)-ln|e^2|)/(h)=lim_{h to 0^+}((ln|e^(2h)|ln|1-e^(2-2h)|-|2h|)-ln|e^2|)/(h)=lim_{h to 0^+}((ln|1-e^(2-2h)|)/(h)-(ln|e^2|)/(h))=lim_{h to 0^+}(1/h)(lim_{h to 0^+}ln|1-e^(2-2h)|-ln|e^2|)=+ infty$
$lim_{h to 0^-}(f(0+h)-f(0))/(h)=lim_{h to 0^-}((ln|e^(2h)-e^2|-|2h|)-ln|e^2|)/(h)=lim_{h to 0^-}((ln|e^(2h)(1-e^(2-2h))|-|2h|)-ln|e^2|)/(h)=lim_{h to 0^-}((ln|e^(2h)|ln|1-e^(2-2h)|-|2h|)-ln|e^2|)/(h)=lim_{h to 0^-}((ln|1-e^(2-2h)|)/(h)-(ln|e^2|)/(h))=lim_{h to 0^-}(1/h)(lim_{h to 0^-}ln|1-e^(2-2h)|-ln|e^2|)=- infty$
per cui in $x_0=0$ si ha un punto cuspidale.
Buona domenica.
Hey buonasera,
ho detto qualcosa di grave, che non ho risposte
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