Insieme di definizione nel campo complesso
data $ f(z) = (log(z))^(1/sqrt(2) ) $ con $ z in CC $ determinare l'insieme di definizione e l'aperto di olomorfia della funzione
( tutte le determinazioni sono da intendersi come principali)
Allora perchè non posso affermare che è definita in $CC - {0}$ invece di sfruttare le proprietà degli esponenziali e trovarmi che è definita in $CC$ meno i punti $0$ e $1$?
Il procedimento per arrivare alla soluzione giusta l'ho capito.. l'unica cosa che non capisco è perchè devo passare per forza per le proprietà degli esponenziali..
( tutte le determinazioni sono da intendersi come principali)
Allora perchè non posso affermare che è definita in $CC - {0}$ invece di sfruttare le proprietà degli esponenziali e trovarmi che è definita in $CC$ meno i punti $0$ e $1$?
Il procedimento per arrivare alla soluzione giusta l'ho capito.. l'unica cosa che non capisco è perchè devo passare per forza per le proprietà degli esponenziali..
Risposte
Forse perchè [tex]$z^\gamma$[/tex] è definita in [tex]$\mathbb{C}\setminus \{ 0\}$[/tex] proprio mediante l'assegnazione [tex]$z\mapsto e^{\gamma \ln z}$[/tex]?
potresti spiegarmi meglio gentilmente?
Era una cosa buttata lì...
Visto che la potenza ad esponente complesso è definita mediante quell'assegnazione lì, ho pensato che il passaggio che non ti era chiaro potesse essere legato alla definizione.
Tutto qui.
Visto che la potenza ad esponente complesso è definita mediante quell'assegnazione lì, ho pensato che il passaggio che non ti era chiaro potesse essere legato alla definizione.
Tutto qui.
ma l'esponente non è complesso.. comunque se quella è la definizione non è come nei reali? $x^\alpha = e^(\alphalog(x))$
Va bene, allora devo partire dalle basi.
La relazione:
(*) [tex]$x^\alpha = e^{\alpha \ln x}$[/tex]
vale in [tex]$\mathbb{R}$[/tex] per ogni [tex]$x>0$[/tex] e [tex]$\alpha \in \mathbb{R}$[/tex].
Visto che quando si danno le definizioni delle funzioni elementari in [tex]$\mathbb{C}$[/tex] si cerca sempre di ottenere le vecchie per restrizione, è evidente che sono obbligato a definire la potenza ad esponente complesso [tex]$z^\gamma$[/tex] in modo che la nuova definizione mi restituisca la (*) non appena prendo [tex]$z=x\in ]0,+\infty[$[/tex] e [tex]$\gamma =\alpha \in \mathbb{R}$[/tex].
Dato che l'esponenziale ed il logaritmo li ho già definiti in precedenza, allora posso prendere per definizione proprio:
(**) [tex]$z^\gamma :=e^{\gamma \ln z}$[/tex];
la potenza così definita è funzione polidroma; si può dimostrare che essa ha un numero finito di determinazioni se e solo se [tex]$\gamma \in \mathbb{Q}$[/tex], sicché in tutti gli altri casi, le determinazioni sono infinite.
Inoltre, in ogni caso, se [tex]$\gamma =\alpha \in \mathbb{R}$[/tex], la restrizione a [tex]$]0,+\infty[$[/tex] della determinazione principale di [tex]$z^\alpha$[/tex] (che si ottiene usando la determinazione principale del logaritmo) coincide con la funzione [tex]$x^\alpha$[/tex] definita nei reali.
Tornando al tuo esercizio, per la definizione della potenza (**) hai:
[tex]$f(z):=(\ln z)^{\frac{1}{\sqrt{2}}} = e^{\frac{1}{\sqrt{2}} \ln (\ln z)}$[/tex],
ergo l'insieme di definizione di [tex]$f(z)$[/tex] coincide con l'insieme di definizione di [tex]$\ln (\ln z)$[/tex] e, perciò, si ottiene imponendo le condizioni:
[tex]$\begin{cases} z\neq 0 &\text{, per l'esistenza del logaritmo più interno} \\ \ln z\neq 0 &\text{, per l'esistenza del logaritmo più esterno} \end{cases}$[/tex],
dalle quali ottieni il tuo risultato.
La relazione:
(*) [tex]$x^\alpha = e^{\alpha \ln x}$[/tex]
vale in [tex]$\mathbb{R}$[/tex] per ogni [tex]$x>0$[/tex] e [tex]$\alpha \in \mathbb{R}$[/tex].
Visto che quando si danno le definizioni delle funzioni elementari in [tex]$\mathbb{C}$[/tex] si cerca sempre di ottenere le vecchie per restrizione, è evidente che sono obbligato a definire la potenza ad esponente complesso [tex]$z^\gamma$[/tex] in modo che la nuova definizione mi restituisca la (*) non appena prendo [tex]$z=x\in ]0,+\infty[$[/tex] e [tex]$\gamma =\alpha \in \mathbb{R}$[/tex].
Dato che l'esponenziale ed il logaritmo li ho già definiti in precedenza, allora posso prendere per definizione proprio:
(**) [tex]$z^\gamma :=e^{\gamma \ln z}$[/tex];
la potenza così definita è funzione polidroma; si può dimostrare che essa ha un numero finito di determinazioni se e solo se [tex]$\gamma \in \mathbb{Q}$[/tex], sicché in tutti gli altri casi, le determinazioni sono infinite.
Inoltre, in ogni caso, se [tex]$\gamma =\alpha \in \mathbb{R}$[/tex], la restrizione a [tex]$]0,+\infty[$[/tex] della determinazione principale di [tex]$z^\alpha$[/tex] (che si ottiene usando la determinazione principale del logaritmo) coincide con la funzione [tex]$x^\alpha$[/tex] definita nei reali.
Tornando al tuo esercizio, per la definizione della potenza (**) hai:
[tex]$f(z):=(\ln z)^{\frac{1}{\sqrt{2}}} = e^{\frac{1}{\sqrt{2}} \ln (\ln z)}$[/tex],
ergo l'insieme di definizione di [tex]$f(z)$[/tex] coincide con l'insieme di definizione di [tex]$\ln (\ln z)$[/tex] e, perciò, si ottiene imponendo le condizioni:
[tex]$\begin{cases} z\neq 0 &\text{, per l'esistenza del logaritmo più interno} \\ \ln z\neq 0 &\text{, per l'esistenza del logaritmo più esterno} \end{cases}$[/tex],
dalle quali ottieni il tuo risultato.
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