Insieme di definizione - Funzione a due variabili

[Mr.Mazzarr]

Ho un po' di difficoltà con il calcolo dell'insieme di definizione di questa funzione a due variabili:

$z = sqrt(sen(sqrt(x^2+y^2)))$

La seconda radice mi porta a scrivere $x^2+y^2>=0$, ovvero trattandosi di una circonferenza è tutto $RR^3$, dato che sono tutti i punti aventi distanza dal centro maggiore di zero più lo stesso centro di coordinate $(0, 0)$. Ma poi mi trovo con una disequazione del genere e non so proprio come comportarmi:

$sen(sqrt(x^2+y^2)) >= 0$

Come si fa ? Vi ringrazio.

[gio73]

"Mr.Mazzarr":

La seconda radice mi porta a scrivere $x^2+y^2>=0$, ovvero trattandosi di una circonferenza è tutto $RR^3$, dato che sono tutti i punti aventi distanza dal centro maggiore di zero più lo stesso centro di coordinate $(0, 0)$.

qui non ti ho capito

"Mr.Mazzarr":
Ma poi mi trovo con una disequazione del genere e non so proprio come comportarmi:

$sen(sqrt(x^2+y^2)) >= 0$

Come si fa ? Vi ringrazio.

secondo me abbiamo bisogno che l'argomento del seno sia un angolo compreso tra $0$ e $pi$ e relativa periodicità, cioè ...

PS: hai poi passato analisi 1, didn't you?

[gugo82]

Beh, dato che:
\[
\sin t \geq 0 \quad \Leftrightarrow \quad 2k\ \pi \leq t\leq (2k+1)\ \pi \text{ , con } k\in \mathbb{Z}
\]
e che \(t=\sqrt{x^2+y^2}\geq 0\), hai:
\[
\begin{split}
\sin \sqrt{x^2+y^2} \geq 0 \quad &\Leftrightarrow \quad 2k\ \pi \leq \sqrt{x^2+y^2}\leq (2k+1)\ \pi \color{maroon}{\text{ , con } k\in \mathbb{N}}\\
\Leftrightarrow \quad (2k)^2\ \pi^2 \leq x^2+y^2\leq (2k+1)^2\ \pi^2 \color{maroon}{\text{ , con } k\in \mathbb{N}}
\end{split}
\]
Quindi il dominio della tua funzione è:
\[
D:=\bigcup_{k=0}^\infty \underbrace{\left\{ (x,y)\in \mathbb{R}^2:\ (2k)^2\ \pi^2 \leq x^2+y^2\leq (2k+1)^2\ \pi^2\right\}}_{=:D_k}
\]
in cui ogni \(D_k\) è una corona circolare di centro \(o=(0,0)\), raggio interno \(r_k=2k\pi\) e raggio esterno \(R_k=(2k+1)\pi\) con \(k\in \mathbb{N}\).