Insieme di definizione di una funzione:
Buonasera, sto ragionando su come calcolare l'insieme di definizione della seguente funzione e mi trovo un attimo in difficoltà. La funzione è la seguente:
$(x-sqrt(x^2-x+1))^pi$
Il primo componente $x$ è definito su tutto R, mentre il secondo essendo una radice devo imporre argomento >=0, cioè:
$(x^2-x+1)>=0$
Questa disequazione ha delta negativo e quindi non ammette valori in R. Il dominio generale quale è? Io penso che la funzione non sia definita in R.
Grazie mille e scusate l'orario.
$(x-sqrt(x^2-x+1))^pi$
Il primo componente $x$ è definito su tutto R, mentre il secondo essendo una radice devo imporre argomento >=0, cioè:
$(x^2-x+1)>=0$
Questa disequazione ha delta negativo e quindi non ammette valori in R. Il dominio generale quale è? Io penso che la funzione non sia definita in R.
Grazie mille e scusate l'orario.
Risposte
Ciao! Le potenze ad esponente irrazionale diverso da $0$ richiedono che la base sia non negativa.
"Ster24":
$(x^2-x+1)>=0$
Questa disequazione ha delta negativo e quindi non ammette valori in R.
Quale sarebbe il significato di "non ammette valori in $RR$"?
Stai risolvendo una disequazione non un'equazione ...
E poi devi aggiungere la condizione indicata da Mephlip
Ciao Ster24,
Hai la disequazione seguente:
$ax^2 + bx + c \ge 0 $
Il fatto che l'equazione associata $ax^2 + bx + c = 0 $ non abbia soluzioni in $\RR $, cioè sia $Delta < 0 $, non significa che non si possa trovare il segno del trinomio $ax^2 + bx + c $: infatti dovrebbe esserti noto che vale la
$ax^2 + bx + c = a[(x + b/(2a))^2 - \Delta/(4a^2)] $
ove $\Delta := b^2 - 4ac $
Quindi se $\Delta < 0 $, come nel tuo caso, il segno del trinomio è dato semplicemente dal segno di $a$ (all'interno delle parentesi quadre le quantità sono tutte positive) e nel caso in esame è $a = 1 > 0 $: pertanto il trinomio è sempre positivo $\AA x \in \RR $ e l'unica cosa che ti resta da fare è ciò che ti ha già scritto Mephlip, vale a dire risolvere la semplice disequazione irrazionale seguente:
$\sqrt{x^2 - x + 1} \le x $
"Ster24":
Questa disequazione ha delta negativo e quindi non ammette valori in R.
Hai la disequazione seguente:
$ax^2 + bx + c \ge 0 $
Il fatto che l'equazione associata $ax^2 + bx + c = 0 $ non abbia soluzioni in $\RR $, cioè sia $Delta < 0 $, non significa che non si possa trovare il segno del trinomio $ax^2 + bx + c $: infatti dovrebbe esserti noto che vale la
$ax^2 + bx + c = a[(x + b/(2a))^2 - \Delta/(4a^2)] $
ove $\Delta := b^2 - 4ac $
Quindi se $\Delta < 0 $, come nel tuo caso, il segno del trinomio è dato semplicemente dal segno di $a$ (all'interno delle parentesi quadre le quantità sono tutte positive) e nel caso in esame è $a = 1 > 0 $: pertanto il trinomio è sempre positivo $\AA x \in \RR $ e l'unica cosa che ti resta da fare è ciò che ti ha già scritto Mephlip, vale a dire risolvere la semplice disequazione irrazionale seguente:
$\sqrt{x^2 - x + 1} \le x $
Chiarissimo! Quindi sostanzialmente dalla semplice disequazione ottengo $x>=1$ come insieme di definizione.
Avrei un dubbio solo: abbiamo capito che la condizione $x^2-x+1$ è una quantità sempre positiva, ma non può essere uguale a 0. Quindi il $>=$ che impone la condizione di esistenza della radice diventa solo $>$ (visto che =0 non ammette soluzioni in R), giusto?
Grazie mille, mi siete davvero di aiuto.
Avrei un dubbio solo: abbiamo capito che la condizione $x^2-x+1$ è una quantità sempre positiva, ma non può essere uguale a 0. Quindi il $>=$ che impone la condizione di esistenza della radice diventa solo $>$ (visto che =0 non ammette soluzioni in R), giusto?
Grazie mille, mi siete davvero di aiuto.
"Ster24":
Quindi sostanzialmente dalla semplice disequazione ottengo $x >= 1$ come insieme di definizione.
Corretto.
"Ster24":
abbiamo capito che la condizione $x^2−x+1$ è una quantità sempre positiva
Non è una condizione, è un trinomio. La condizione casomai è $x^2 - x + 1 \ge 0 $: visto che abbiamo appurato che il trinomio è sempre positivo $\AA x \in \RR $, non sarà mai nullo...
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