Insieme di definizione di $f(x)=log(sin|x|+cos|x|)$

[indovina]

Ho provato a trovare l'insieme di definizione di questa funzione:
$f(x)=log(sin|x|+cos|x|)$

ponendo $x>=0$ tolgo il valore assoluto

$f(x)=log(sinx+cosx)$

Pongo l'argomento del logaritmo maggiore di $0$

$sinx+cosx>0$

uso le parametriche

$((2t)/(1+t^2))+(1-t^2)/(1+t^2)>0$

$(2t+1-t^2)/(1+t^2)>0$

$(t^2-2t-1)/(1+t^2)<0$

risolvo:
$t^2-2t-1>0$
$t<1-sqrt(2)$ e $t>1+sqrt(2)$

mentre per $1+t^2>0$ sempre

le soluzioni sembra essere nel mio caso: $1-sqrt(2)

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Risposte

Nicole931

25 apr 2010, 06:43

hai ottenuto una disequazione goniometrica lineare molto semplice, che si risolve molto più velocemente con il metodo grafico
infatti, ponendo $senx=Y,cosx=X$ ottieni la disequazione $Y> -X$ , che , intersecata con l'equazione della circonferenza goniometrica, individua come soluzioni tutti i punti della circonferenza che si trovano al di sopra della bisettrice del secondo e quarto quadrante
comunque, al di là del metodo risolutivo, dovresti anche considerare la possibilità che sia $x<0$

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indovina

25 apr 2010, 11:58

Voglio capire questa cosa del metodo grafico, che non la ricordo quasi più.

per $x>0$

abbiamo $sinx> -cosx$

Ma non capisco dove prendere le soluzioni.

Dunque poi dovrei vedere:

$x<0$

$-sin(x)+cos(x)>0$

giusto?

Inoltre, il mio metodo è sbagliato?

Grazie

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Nicole931

25 apr 2010, 12:30

non è sbagliato, è solo più lungo e ti dà come soluzioni $t=tg(x/2)$, per cui poi è più difficoltoso risalire all'arco x
Il metodo grafico consiste nell'impostare il sistema:
${\(Y> -X),(X^2+Y^2=1):}
che graficamente consiste nel disegnare la circonferenza goniometrica e la retta y = -x; a questo punto le soluzioni della disequazione sono tutti i punti dell'arco di circonferenza che si trova al di sopra della retta (cioè i punti della circonferenza la cui ordinata è maggiore della corrispondente ordinata della retta)
per x<0 la disequazione che hai impostato è giusta, e anche per questa la risoluzione col metodo grafico è rapida e semplice

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indovina

25 apr 2010, 13:06

Spero di aver capito il ragionamento.
Posto i miei calcoli.
per il primo sistema è:
$y=-x$ retta che sta nel secondo e quarto quadrante. e forma un angolo di $pi/4$
la soluzione dovrebbe essere:
$2KPi
puoi controllare se è così?
grazie.

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Nicole931

25 apr 2010, 13:10

è giusto
volendo puoi scriverle anche così, ricorrendo agli archi negativi:
$-pi/4+2kpi

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indovina

25 apr 2010, 15:06

Praticamente tu hai 'compattato il tutto' scrivendo con gli archi negativi.

Ora, trovando anche la soluzione per il $x<0$, la soluzione finale per il dominio è l'unione del primo sistema con quello del secondo?

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Nicole931

25 apr 2010, 15:31

sì, è giusto

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[Nicole931]

hai ottenuto una disequazione goniometrica lineare molto semplice, che si risolve molto più velocemente con il metodo grafico
infatti, ponendo $senx=Y,cosx=X$ ottieni la disequazione $Y> -X$ , che , intersecata con l'equazione della circonferenza goniometrica, individua come soluzioni tutti i punti della circonferenza che si trovano al di sopra della bisettrice del secondo e quarto quadrante
comunque, al di là del metodo risolutivo, dovresti anche considerare la possibilità che sia $x<0$

[indovina]

Voglio capire questa cosa del metodo grafico, che non la ricordo quasi più.

per $x>0$

abbiamo $sinx> -cosx$

Ma non capisco dove prendere le soluzioni.

Dunque poi dovrei vedere:

$x<0$

$-sin(x)+cos(x)>0$

giusto?

Inoltre, il mio metodo è sbagliato?

Grazie

[Nicole931]

non è sbagliato, è solo più lungo e ti dà come soluzioni $t=tg(x/2)$, per cui poi è più difficoltoso risalire all'arco x
Il metodo grafico consiste nell'impostare il sistema:
${\(Y> -X),(X^2+Y^2=1):}
che graficamente consiste nel disegnare la circonferenza goniometrica e la retta y = -x; a questo punto le soluzioni della disequazione sono tutti i punti dell'arco di circonferenza che si trova al di sopra della retta (cioè i punti della circonferenza la cui ordinata è maggiore della corrispondente ordinata della retta)
per x<0 la disequazione che hai impostato è giusta, e anche per questa la risoluzione col metodo grafico è rapida e semplice

[indovina]

Spero di aver capito il ragionamento.
Posto i miei calcoli.
per il primo sistema è:
$y=-x$ retta che sta nel secondo e quarto quadrante. e forma un angolo di $pi/4$
la soluzione dovrebbe essere:
$2KPi
puoi controllare se è così?
grazie.

[Nicole931]

è giusto
volendo puoi scriverle anche così, ricorrendo agli archi negativi:
$-pi/4+2kpi

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[indovina]

Praticamente tu hai 'compattato il tutto' scrivendo con gli archi negativi.

Ora, trovando anche la soluzione per il $x<0$, la soluzione finale per il dominio è l'unione del primo sistema con quello del secondo?

[Nicole931]

sì, è giusto