Insieme di definizione di funzione a due variabili
Ho un esercizio che mi chiede di trovare l'insieme di definizione di una funzione e di spiegarne la natura.
$f(x,y)=log ((x^2+y^2-3)/(xy-1))$
la base del logaritmo è (2-y) ma non sapevo come inserirla nella formula.
Io ho pensato di applicare la stessa regola delle funzioni ad una variabile, cioè ho posto:
$2-y>0$
$(x^2+y^2-3)/(xy-1)>0$
$2-y≠1$
e poi il denominatore della frazione: $xy-1≠1$
Quindi mi trovo:
una circonferenza: $x^2+y^2>3$
una iperbole: $y≠1/x$
due rette: $y≠-1/2$ e $y<2$
Il procedimento è giusto, oppure ho commesso qualche errore?[/code]
$f(x,y)=log ((x^2+y^2-3)/(xy-1))$
la base del logaritmo è (2-y) ma non sapevo come inserirla nella formula.
Io ho pensato di applicare la stessa regola delle funzioni ad una variabile, cioè ho posto:
$2-y>0$
$(x^2+y^2-3)/(xy-1)>0$
$2-y≠1$
e poi il denominatore della frazione: $xy-1≠1$
Quindi mi trovo:
una circonferenza: $x^2+y^2>3$
una iperbole: $y≠1/x$
due rette: $y≠-1/2$ e $y<2$
Il procedimento è giusto, oppure ho commesso qualche errore?[/code]
Risposte
Premettiamo che non sono un drago matematico, ecco come risolverei io, in modo chiaro, elementare e lineare:
- Cambio di base per il logaritmo, così mi evito paranoie poi. Mi trovo quindi con $(log((x^2+y^2-3)/(xy-1)))/(log(2-y))$
a questo punto individuare il dominio è abbastanza elementare.
Se hai bisogno posso svolgerti tutto il ragionamento e i calcoli dettagliato, fammi solo sapere.
- Cambio di base per il logaritmo, così mi evito paranoie poi. Mi trovo quindi con $(log((x^2+y^2-3)/(xy-1)))/(log(2-y))$
a questo punto individuare il dominio è abbastanza elementare.
Se hai bisogno posso svolgerti tutto il ragionamento e i calcoli dettagliato, fammi solo sapere.
Ho provato e viene la stessa cosa.
Mi sono accorta che ho fatto un'errore:
la retta $y≠-1/2$ in realtà è $y≠1$
Comunque anche il tuo metodo è valido!
Ne avrei anche un altro: $(log(1-x^2/4-y^2/16))/(log(x+1))$
devo calcolare la derivata rispetto ad y nel punto P(1,0)
Ho provato a calcolarla, ma secondo il mio risultato, se vado a sostituire i valori mi trovo una forma indeterminata! Forse sbaglio qualcosa nella derivata
Mi sono accorta che ho fatto un'errore:
la retta $y≠-1/2$ in realtà è $y≠1$
Comunque anche il tuo metodo è valido!
Ne avrei anche un altro: $(log(1-x^2/4-y^2/16))/(log(x+1))$
devo calcolare la derivata rispetto ad y nel punto P(1,0)
Ho provato a calcolarla, ma secondo il mio risultato, se vado a sostituire i valori mi trovo una forma indeterminata! Forse sbaglio qualcosa nella derivata
"mrpoint":
Premettiamo che non sono un drago matematico, ecco come risolverei io, in modo chiaro, elementare e lineare:
- Cambio di base per il logaritmo, così mi evito paranoie poi. Mi trovo quindi con $(log((x^2+y^2-3)/(xy-1)))/(log(2-y))$
a questo punto individuare il dominio è abbastanza elementare.
Se hai bisogno posso svolgerti tutto il ragionamento e i calcoli dettagliato, fammi solo sapere.
Incuriosito da questo insieme di definizione, ne ho fatto il grafico
http://img837.imageshack.us/img837/4706/graficoj.jpg
qualcuno può dirmi se è esatta o meno?
Grazie!
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