Insieme di definizione di funzione

[Eodam]

Salve ragazzi! Come da titolo ho un esercizio che mi chiede di trovare l'insieme di definizione della seguente funzione:

$ log((arccos(abs(logx+1)) + log^2((9^x +3^x +6)/(3^x-3 )))/(sqrt(x+1-sqrt(x)))) $

Ora io svolgendo i calcoli mi trovo come insieme di definizione:

$ 1/e^2 <= x <= 1 Ux>1 $

Non sono convinto che sia la soluzione esatta! Vorrei per l'appunto un confronto con qualcuno di voi , anche per capire magari eventuali errori commessi! Vi ringrazio anticipatamente

[Ernesto011]

Non so se la soluzione sia esatta, ma è sicuramente scritta in maniera ridondante.
Quello che hai scritto è equivalente a $x>=1/e^2$

[Brancaleone1]

Ciao AmedeoF.
Credo che il dominio sia $e^-2<=x<1$. L'arcocoseno è definito solo nell'intervallo $[-1,1]$, quindi il suo argomento non può superare l'unità, da cui:

$|ln(x)+1|={ ((A) \quad ln(x)+1 \text( quando ) x>=e^-1),((B) \quad -ln(x)-1 \text( quando ) x

Nel caso $(A)$:

$ln(x)+1<=1 => x<=1$

$=>e^-1<=x<=1$

Nel caso $(B)$:

$-ln(x)-1<=1 => x>=e^-2$

$=>e^-2<=x<=e^-1$

Mettendoli insieme otteniamo $e^-2<=x<=1$. Entro questo intervallo gli altri termini non apportano ulteriori restrizioni tranne che per il denominatore nell'argomento dell'ultimo logaritmo, per cui $3^x-3 ne 0=>x ne 1$, facendo diventare il dominio $e^-2<=x<1$. Dato che tutti i termini sono positivi (l'arcocoseno ha immagine positiva, cui viene sommato un logaritmo al quadrato che quindi è positivo, e il tutto è diviso da una radice quadrata che ovviamente è positiva), il logaritmo che ingloba tutto è definito nell'ultimo intervallo sopra riportato.

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[Eodam]

Ma per x<1 l'argomento di log^2 non diventa negativo?

Si andrebbe a valutare un argomento < 0

[Brancaleone1]

Hai ragione, non me ne sono reso conto quando ho scritto
A 'sto punto (se il ragionamento che ho mosso prima è valido, a parte ovviamente lo svarione sulla positività dell'argomento di $ln^2$) sono tentato di dire che la funzione non è definita in alcun punto del campo reale.

[Eodam]

Potrebbe valere la disgiunzione esclusiva?? Cioè la xor, cosicché quando una condizione é vera l'altra é falsa il risultato finale risulta essere vero e dunque

1/e^2 <= x <= 1 V' x >1!

[Brancaleone1]

Direi di no, perché se uno dei termini della funzione non è definito in un certo intervallo del campo reale, la funzione stessa non può esistere in quell'intervallo. Qui c'è l'arcocoseno che ammette solo punti in $e^-2<=x<1$, mentre il $ln^2$ accetta solo punti in $x>1$, cioè "non si parlano", hanno "un'intersezione vuota".

[Sebastiantum]

Le due condizioni che rendono la funzione indefinita sono:
${(3^x-3>0),(|log(x)+1|<=1):}$
Dalla prima: $x>1$
Dalla seconda(in cui possiamo togliere il modulo visto che $x>1 rArr log(x)>0$): $log(x)<0 rArr 0 Evidentemente i due intervalli di definizione hanno intersezione nulla cvd.