Insieme di definizione + derivata prima
la funzione è:
$y=x*e^sin(x)$
$D=RR$
la deriva prima:
$y'=e^sin(x)+xcos(x)e^sin(x)$
punti critici:
$e^sin(x)+xcos(x)e^sin(x)=0$
$e^sin(x)(1+xcos(x))=0$
$e^sin(x)=0$ mai
$1+xcos(x)=0$ ?? come si risolve?.
io avevo pensato a mettere in $cos(x)=1-x^2/2$ ma non credo si possa fare.
suggerimenti?
$y=x*e^sin(x)$
$D=RR$
la deriva prima:
$y'=e^sin(x)+xcos(x)e^sin(x)$
punti critici:
$e^sin(x)+xcos(x)e^sin(x)=0$
$e^sin(x)(1+xcos(x))=0$
$e^sin(x)=0$ mai
$1+xcos(x)=0$ ?? come si risolve?.
io avevo pensato a mettere in $cos(x)=1-x^2/2$ ma non credo si possa fare.
suggerimenti?
Risposte
si potrebbe usare il metodo grafico vedendo dove si intersecano le funzioni $cos(x)$ e $-1/x$
però ho quache dubbio che sia conveniente in questo caso...
però ho quache dubbio che sia conveniente in questo caso...
non so se in sede di esame potrei farlo, sembra parecchia complicata la cosa.
Ho visto il grafico finale di questa funzione e i punti critici ci sono.
Ho visto il grafico finale di questa funzione e i punti critici ci sono.
"clever":
non so se in sede di esame potrei farlo, sembra parecchia complicata la cosa.
Ho visto il grafico finale di questa funzione e i punti critici ci sono.
Certo che ci sono!
Anzi, sono un'infinità numerabile, costituiscono un insieme non limitato né superiormente né inferiormente e sono contenuti tutti in [tex]$]-\infty ,-1[\cup ]1,+\infty[$[/tex]; questo si ricava immediatamente dal fatto che tali punti risolvono l'equazione [tex]$1+x\cos x=0$[/tex] e, quindi, sono le ascisse dei punti d'intersezione tra i grafici delle funzioni [tex]$f(x):=\cos x$[/tex] e [tex]$g(x):=-\frac{1}{x}$[/tex].
Inoltre, detto [tex]$\{ x_k\}_{k\in \mathbb{Z}}$[/tex] l'insieme dei punti critici numerati in modo crescente e tale che [tex]$x_0\in ]\tfrac{\pi}{2} ,\pi[$[/tex] (sicché [tex]$k>0\Rightarrow x_k>0$[/tex]), si vede che quelli che hanno [tex]$k>0$[/tex] sono massimi se [tex]$k$[/tex] è pari, minimi se [tex]$k$[/tex] è dispari (viceversa se [tex]$k<0$[/tex]) e che asintoticamente si ha [tex]$|x_k-x_{k+1}|\nearrow \pi$[/tex].
E poi, clever, è ovvio che all'esame puoi usare metodi grafici... Un esame scritto serve anche a mostrare quali tecniche di risoluzione hai appreso; visto il metodo grafico è una di tali tecniche, benché non esatta (en passant, noto che non è possibile ottenere le soluzioni esatte di quell'equazione in alcun modo), perchè non dovrebbe esser lecito usarlo?
Al massimo può essere un po' incasinato, ma ti assicuro che di solito non capitano cose troppo "strane" nei compiti d'esame...
P.S.: Parecchio, nel tuo caso è avverbio non aggettivo...
"gugo82":
[quote="clever"]non so se in sede di esame potrei farlo, sembra parecchia complicata la cosa.
Ho visto il grafico finale di questa funzione e i punti critici ci sono.
Certo che ci sono!
Anzi, sono un'infinità numerabile, costituiscono un insieme non limitato né superiormente né inferiormente e sono contenuti tutti in [tex]$]-\infty ,-1[\cup ]1,+\infty[$[/tex]; questo si ricava immediatamente dal fatto che tali punti risolvono l'equazione [tex]$1+x\cos x=0$[/tex] e, quindi, sono le ascisse dei punti d'intersezione tra i grafici delle funzioni [tex]$f(x):=\cos x$[/tex] e [tex]$g(x):=-\frac{1}{x}$[/tex].
Inoltre, detto [tex]$\{ x_k\}_{k\in \mathbb{Z}}$[/tex] l'insieme dei punti critici numerati in modo crescente e tale che [tex]$x_0\in ]\tfrac{\pi}{2} ,\pi[$[/tex] (sicché [tex]$k>0\Rightarrow x_k>0$[/tex]), si vede che quelli che hanno [tex]$k>0$[/tex] sono massimi se [tex]$k$[/tex] è pari, minimi se [tex]$k$[/tex] è dispari (viceversa se [tex]$k<0$[/tex]) e che asintoticamente si ha [tex]$|x_k-x_{k+1}|\nearrow \pi$[/tex].
E poi, clever, è ovvio che all'esame puoi usare metodi grafici... Un esame scritto serve anche a mostrare quali tecniche di risoluzione hai appreso; visto il metodo grafico è una di tali tecniche, benché non esatta (en passant, noto che non è possibile ottenere le soluzioni esatte di quell'equazione in alcun modo), perchè non dovrebbe esser lecito usarlo?
Al massimo può essere un po' incasinato, ma ti assicuro che di solito non capitano cose troppo "strane" nei compiti d'esame...
P.S.: Parecchio, nel tuo caso è avverbio non aggettivo...[/quote]
Sai che non ho mai visto [tex]$|x_k-x_{k+1}|\nearrow \pi$[/tex] cioè il segno di asintotico in questo modo.
Questa funzione non l'ho vista in nessuna prova di esame vecchio.
Non ho capito la faccenda del $k$ e poi perchè prendi l'intervallo $(pi/2;pi)$?
"clever":
Sai che non ho mai visto [tex]$|x_k-x_{k+1}|\nearrow \pi$[/tex] cioè il segno di asintotico in questo modo.
La freccia [tex]$\nearrow$[/tex] significa che [tex]$|x_k-x_{k+1}|$[/tex] tende a [tex]$\pi$[/tex] crescendo.
"clever":
Questa funzione non l'ho vista in nessuna prova di esame vecchio.
Meglio così, no?
"clever":
Non ho capito la faccenda del $k$ e poi perchè prendi l'intervallo $(pi/2;pi)$?
Facciamo un po' di metodo grafico per l'equazione [tex]$1+x\cos x=0$[/tex]; nel disegno che segue in rosso c'è il grafico di [tex]$-\frac{1}{x}$[/tex] ed in blu quello di [tex]$\cos x$[/tex].
[asvg]xmin=-22;xmax=22;ymin=-10;ymax=10;
axes();
stroke="red";
plot("-1/x",-22,-0.1);
plot("-1/x",0.1,22);
stroke="dodgerblue";
plot("cos(x)",-22,22);[/asvg]
Si vede che i punti tra intersezione tra i grafici formano una famiglia numerabile e non limitata né superiormente né inferiormente.
Per mettere tale famiglia in corrispondenza con [tex]$\mathbb{Z}$[/tex] (che è una cosa alquanto naturale, giacché [tex]$\mathbb{Z}$[/tex] è anch'esso numerabile e non limitato) basta scegliere un punto cui affibiare il nome [tex]$x_0$[/tex] e poi associare in modo crescente ai punti a destra di [tex]$x_0$[/tex] i numeri interi positivi ed a quelli a sinistra di [tex]$x_0$[/tex] gli indici negativi in modo decrescente.
Per comodità ho chiamato [tex]$x_0$[/tex] la minore tra le ascisse positive dei punti d'intersezione dei grafici; che poi capiti che [tex]$x_0\in ]\tfrac{\pi}{2} ,\pi[$[/tex] si vede dal grafico (tenedo presente che [tex]$\tfrac{\pi}{2} \approx 1.57$[/tex] e [tex]$\pi \approx 3.14$[/tex]).
[asvg]xmin=-6;xmax=9;ymin=-3.75;ymax=3.75;
axes("","");
text([-5,0.25],"x(-1)",above);
text([2,-0.5],"x(0)",below);
text([4.5,-0.25],"x(1)",below);
text([8,-0.25],"x(2)",below);
stroke="red";
plot("-1/x",-6,-0.1);
plot("-1/x",0.1,14);
stroke="dodgerblue";
plot("cos(x)",-6,14);[/asvg]
Sempre dal grafico si evince che [tex]$x_{2k} \approx \frac{\pi}{2} +2k\pi$[/tex] e [tex]$x_{2k+1} \approx \frac{3\pi}{2} +2k\pi$[/tex] per [tex]$k>0$[/tex] grande (viceversa per [tex]$k<0$[/tex]); da ciò la stima [tex]$|x_n-x_{n+1}|\to \pi$[/tex].
Che poi la successione [tex]$|x_n-x_{n+1}|$[/tex] vada crescendo si vede dal grafico.
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