Insieme di definizione, continuità ed olomorfia
Forse si inizia già con una brutta figura. L'argomento è di Analisi II e non sapevo dove postarlo. Spero che questa sezione
rappresenti l'analisi in generale e non tratti esclusivamente Analisi I.
Ho difficoltà con un esercizietto:
f(z) = 1/(coshz + e^z)
Devo trovare ciò che ho specificato nel titolo del thread. Specifico che siamo in campo complesso, cioè z appartiene
a C, z = x + iy.
Suppongo di dover escludere da C tutti i valori per la quale si annulla il denominatore. Allora io ho posto
e^z + coshz = 0, e^z = -coshz, z = -log(coshz). Io so che il logaritmo è definito in C* (C privato dell'origine),
continuo in C** (C privato del semiasse reale negativo) e olomorfo in C**.
Però non so come proseguire. Help, grazie in anticipo
rappresenti l'analisi in generale e non tratti esclusivamente Analisi I.
Ho difficoltà con un esercizietto:
f(z) = 1/(coshz + e^z)
Devo trovare ciò che ho specificato nel titolo del thread. Specifico che siamo in campo complesso, cioè z appartiene
a C, z = x + iy.
Suppongo di dover escludere da C tutti i valori per la quale si annulla il denominatore. Allora io ho posto
e^z + coshz = 0, e^z = -coshz, z = -log(coshz). Io so che il logaritmo è definito in C* (C privato dell'origine),
continuo in C** (C privato del semiasse reale negativo) e olomorfo in C**.
Però non so come proseguire. Help, grazie in anticipo
Risposte
Prova a riscrivere il coseno iperbolico in termini di esponenziali e vedi cosa succede.
Si mi sembra l'unica strada percorribile. Ora ho poco tempo quindi mi appunto giusto qualcosa XD.
Io so che coshz = (e^z + e^-z)/2 e che è una funzione definita ed olomorfa in tutto il campo complesso.
Il logaritmo in campo complesso si calcola così:
logz = log|z| + iArg(z).
Devo calcolare dunque il modulo di coshz e l'argomento di coshz. Credo. So che e^z = e^(x+iy) = (e^x)(e^iy)
e che e^-z = e^-(x+iy) = (e^-x)(e^-iy).
Usando Eulero:
e^z = (e^x)(cosy + iseny)
e^-z = (e^-x)(cosy - iseny)
Dovrei sostituire questa roba nell'espressione esponenziale del coshz e viene una cosa brutta.
Ora non posso continuare.
Può essere utile disporre della soluzione, che risulta essere:
Insieme definizione = Insieme continuità = Insieme olomorfia = C - {z: z = -log(radice di 3) + i((pi/2) + k*pi), k app a Z}
Vedendo la soluzione mi viene da pensare che l'impostazione è assolutamente corretta.
Io so che coshz = (e^z + e^-z)/2 e che è una funzione definita ed olomorfa in tutto il campo complesso.
Il logaritmo in campo complesso si calcola così:
logz = log|z| + iArg(z).
Devo calcolare dunque il modulo di coshz e l'argomento di coshz. Credo. So che e^z = e^(x+iy) = (e^x)(e^iy)
e che e^-z = e^-(x+iy) = (e^-x)(e^-iy).
Usando Eulero:
e^z = (e^x)(cosy + iseny)
e^-z = (e^-x)(cosy - iseny)
Dovrei sostituire questa roba nell'espressione esponenziale del coshz e viene una cosa brutta.
Ora non posso continuare.
Può essere utile disporre della soluzione, che risulta essere:
Insieme definizione = Insieme continuità = Insieme olomorfia = C - {z: z = -log(radice di 3) + i((pi/2) + k*pi), k app a Z}
Vedendo la soluzione mi viene da pensare che l'impostazione è assolutamente corretta.
Ho continuato con i calcoli ed alla fine ottengo:
Re(coshz) = cosy*coshx
Im(coshz) = siny*sinhx
Mi sono bloccato. Questi calcoli non mi hanno portato a molto xD
L'argomento mi esce arctan(tany*tanhx) XD
Re(coshz) = cosy*coshx
Im(coshz) = siny*sinhx
Mi sono bloccato. Questi calcoli non mi hanno portato a molto xD
L'argomento mi esce arctan(tany*tanhx) XD
No, no, no, sei fuori strada!
Dopo aver scritto \(\cosh\) come esponenziali, buttalo direttamente nell'espressione. Otterrai qualcosa che in realtà è un'equazione quadratica mascherata!
Dopo aver scritto \(\cosh\) come esponenziali, buttalo direttamente nell'espressione. Otterrai qualcosa che in realtà è un'equazione quadratica mascherata!
Oddio ma dove? xD
z = -log(coshz)
coshz = (e^z + e^-z)/2
z = -log((e^z + e^-z)/2)
z = -log(e^z + e^-z) - log(2) ????
z = -log(coshz)
coshz = (e^z + e^-z)/2
z = -log((e^z + e^-z)/2)
z = -log(e^z + e^-z) - log(2) ????
Cucchiaino... Hai:
\[
e^z + \cosh z =0 \quad \Leftrightarrow \quad e^z + \frac{1}{2}\ (e^z + e^{-z}) =0\; ,
\]
no?
\[
e^z + \cosh z =0 \quad \Leftrightarrow \quad e^z + \frac{1}{2}\ (e^z + e^{-z}) =0\; ,
\]
no?
Sono ritardato. Ho scritto quell'espressione e ciò che riesco ad ottenere è:
3(e^z) + e^-z = 0.
Devo continuare in qualche modo?
3(e^z) + e^-z = 0.
Devo continuare in qualche modo?
A parte la variabile complessa, è una equazione di secondo grado "mascherata" di quelle che si fanno anche alle superiori.
Prova a pensarci un po' sopra.
P.S.: Ah, hai sbagliato a fare i conti quando hai preso il denominatore comune.
Prova a pensarci un po' sopra.
P.S.: Ah, hai sbagliato a fare i conti quando hai preso il denominatore comune.
Boh in realtà non mi pare. Comunque non saprei proprio. Sarà una cosa tremendamente stupida. Ci dormo su.. se mi lascerà dormire XD >.<
Ho sommato i termini simili e fatto il denominatore comune:
((3e^z^2) + 1)/(2(e^z)) = 0
Quindi 3(e^(z^2)) + 1 = 0 --> 3(e^(z^2)) = -1 --> e^z^2 = -(1/3)
e^z = radice quadrata di (-1/3)
z = logaritmo della radice quadrata di (-1/3) ? XD
((3e^z^2) + 1)/(2(e^z)) = 0
Quindi 3(e^(z^2)) + 1 = 0 --> 3(e^(z^2)) = -1 --> e^z^2 = -(1/3)
e^z = radice quadrata di (-1/3)
z = logaritmo della radice quadrata di (-1/3) ? XD
Ce l'ho fatta:
Sommando i termini simili e facendo il comune denominatore ottengo:
$ 3*e^(z^2) + 1 = 0 $
Quindi $ e^z = sqrt(-1/3) $ --> $ e^z = i/sqrt(3) $ --> $ z = log(i/sqrt(3)) $
Il modulo di $ i/sqrt(3) $ è $ 1/sqrt(3) $ e l'argomento è $ pi/2 $ dato che la parte reale è nulla.
In sostanza $ z = log(1) - log(sqrt(3)) + i(pi/2 + k*pi) $
(log(1) = 0)
Sommando i termini simili e facendo il comune denominatore ottengo:
$ 3*e^(z^2) + 1 = 0 $
Quindi $ e^z = sqrt(-1/3) $ --> $ e^z = i/sqrt(3) $ --> $ z = log(i/sqrt(3)) $
Il modulo di $ i/sqrt(3) $ è $ 1/sqrt(3) $ e l'argomento è $ pi/2 $ dato che la parte reale è nulla.
In sostanza $ z = log(1) - log(sqrt(3)) + i(pi/2 + k*pi) $
(log(1) = 0)
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