Insieme di definizione con radice n-esima
Salve,
vorrei capire perchè l'insieme di definizione di [tex]f(x)=\sqrt [n]{x}[/tex] con [tex]n\in \mathbb{N}[/tex] è [tex]\mathbb{R} \cup \{ 0\}$[/tex] se [tex]$n$[/tex] è pari, mentre è tutto [tex]\mathbb{R}[/tex] se [tex]$n$[/tex] è dispari
vorrei capire perchè l'insieme di definizione di [tex]f(x)=\sqrt [n]{x}[/tex] con [tex]n\in \mathbb{N}[/tex] è [tex]\mathbb{R} \cup \{ 0\}$[/tex] se [tex]$n$[/tex] è pari, mentre è tutto [tex]\mathbb{R}[/tex] se [tex]$n$[/tex] è dispari
Risposte
la radice di indice pari è definita solo con l'argomento positivo o nullo, quindi io scrivere l'insieme in questo modo
${x in RR : x>=0}$
${x in RR : x>=0}$
La radice di indice pari ha, per definizione, argomento non negativo. Una radice di indice pari con argomento negativo non è infatti definita in $RR$ (lo è nell'ambito dei numero complessi). La radice di indice dispari invece può avere argomento negativo e ammettere soluzioni nell'ambito dei numeri reali.
Il motivo è il seguente: un numero elevato ad esponente pari ha sempre e solo, come risultato, un numero positivo, mentre un numero elevato ad esponente dispari può avere, come risultato, un numero negativo ($-2^3=-8$).
Il motivo è il seguente: un numero elevato ad esponente pari ha sempre e solo, come risultato, un numero positivo, mentre un numero elevato ad esponente dispari può avere, come risultato, un numero negativo ($-2^3=-8$).