Insieme di definizione

[m911]

mi è stata data la seguente funzione vorrei sapere se il procedimento è esatto..

$ y=sqrt(log (e^(2x)-e^x)) +1 $ (la base del log è $1/2$ se mi dite come si mette la base la sostituisco)
$ log(e^(2x)-e^x>=0 $ sostituisco e^x=t $ log(t^2-t)>=0;$ $t^2-t>=1;$ $t(t-1)>=1;$ $t1>=1;$ $ t2>=1 $
$ e^(2x)-e^x>0 $ sostituisco e^x=t $ t^2-t>0;$ $ t(t-1)>0;$ $ t1>0;$ $ t2>1 $

sostituisco t=e^x

$x<=ln 1$

$x>ln 0$
$x>ln 1$

dominio= $]0;+oo]$

[Richard_Dedekind]

Ma non hai appena detto che la base è [tex]1/2[/tex]? Che significato ha, inoltre, l'espressione "[tex]\ln 0[/tex]" (volutamente fra virgolette)?
Ti conviene iniziare col determinare l'insieme di definizione del logaritmo, poi fai la radice.

[Sk_Anonymous]

Dovresti risolvere il seguente sistema:

$\{(e^(2x)-e^x>0),(e^(2x)-e^x<=1):} rarr \{(x>0),(x<=ln((1+sqrt5)/2)):} rarr 0

Cita

Segnala

[m911]

allora devo risolvere il seguente sistema..
$ e^(2x)-e^x>0 $ soluzioni $x>0$
$ log(e^(2x)-e^x)>=0 $ $e^(2x)-e^x>=1$ trasformo 1=e^0 $2x-x>=0$ $x>=0$

e quindi il dominio dovrebbe essere ]o;+oo[

[Richard_Dedekind]

Ma sei sicuro?
[tex]\log_{1/2} (e^{2x}-e^x)\geq 0 \iff e^{2x}-e^x\leq 1[/tex]
poiché [tex]\log_{1/2}(\,\cdot\,)[/tex] è una funzione decrescente.

[Sk_Anonymous]

m91, se proprio ne sei convinto...

[m911]

si avete ragione il log è in base 1/2 decresce e quindi viene
$e^(2x)-e^x<=1$

sostituisco $e^x=t$ ed ho come soluzioni $t<=1$ e $t<=2$

quindi $x<=0$ ed $x<=log2$

spero di non aver sbagliato..

[Sk_Anonymous]

Scusa ma, hai visto che cosa ho postato prima?

[m911]

si.., ma non ho capito il passaggio $x<=ln((1+sqrt5)/2)$
e pensavo che un metodo alternativo fosse la sostituzione in t
se gentilmente mi puoi spiegare il passaggio..

[Richard_Dedekind]

Ti sei confuso nel sostituire. Se poni [tex]e^x=t[/tex] ottieni la disuguaglianza [tex]t^2 - t \leq 1[/tex] che dà come soluzione l'insieme
[tex]\displaystyle t\in \left[\frac{1-\sqrt{5}}{2}, \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right ]\Rightarrow x\in\left ( 0, \log\left ( \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right ) \right ][/tex]
ricordando che è necessario [tex]x>0[/tex].

[m911]

si ho sbagliato a risolvere l'equazione -.-, ringrazio tutti per la dritta

[m911]

si ho risolto lmale l'equazione -.-, grazie a tutti per la dritta