Insieme di definizione
Salve ragazzi, volevo chiedervi se è corretto questo calcolo di un insieme di definizione della funzione:
$f(x, y) = 1/2 sqrt((1+x^2)/y) + sqrt(y)$
Quindi le condizioni da rispettare sono:
$(1+x^2)/y >= 0$
$y >= 0$
$y != 0$
Considerando che (1 + x^2) è sempre maggiore di $0$, il dominio dovrebbe essere:
$D = {(x, y) in RR^2 : y > 0}$
Vi sembra corretto ?
$f(x, y) = 1/2 sqrt((1+x^2)/y) + sqrt(y)$
Quindi le condizioni da rispettare sono:
$(1+x^2)/y >= 0$
$y >= 0$
$y != 0$
Considerando che (1 + x^2) è sempre maggiore di $0$, il dominio dovrebbe essere:
$D = {(x, y) in RR^2 : y > 0}$
Vi sembra corretto ?
Risposte
Sí
Ho un dubbio su questa forma differenziale:
$omega = ((2x)/(x^2+y) + senx) dx + (y + 1/(x^2 + y) )dy$
Per il dominio, l'unica considerazione da fare è $(x^2 + y) != 0$.
Devo semplicemente scrivere $D = {(x, y) in RR^2 | -x^2 != y}$ oppure devo fare delle ulteriori considerazioni considerando che $y = -x^2$ è una parabola?
Scusami per la domanda sciocca..
P.s.
Un dominio privato di una parabola, è ovviamente semplicemente connesso. No?
$omega = ((2x)/(x^2+y) + senx) dx + (y + 1/(x^2 + y) )dy$
Per il dominio, l'unica considerazione da fare è $(x^2 + y) != 0$.
Devo semplicemente scrivere $D = {(x, y) in RR^2 | -x^2 != y}$ oppure devo fare delle ulteriori considerazioni considerando che $y = -x^2$ è una parabola?
Scusami per la domanda sciocca..
P.s.
Un dominio privato di una parabola, è ovviamente semplicemente connesso. No?
"Mr.Mazzarr":
Devo semplicemente scrivere $ D = {(x, y) in RR^2 | -x^2 != y} $ oppure devo fare delle ulteriori considerazioni considerando che $ y = -x^2 $ è una parabola?
Per studiarlo da un punto di vista topologico è chiaro che devi fare considerazioni di tipo geometrico. Poi per scriverlo in "matematichese" non hai tante alternative da come hai fatto tu.
"Mr.Mazzarr":
Un dominio privato di una parabola, è ovviamente semplicemente connesso. No?
Dipende dalla dimensione del dominio. Se il dominio è in \(\mathbb{R}^2\) e lo si priva di una parabola si ottiene un insieme che non è nemmeno connesso, come può essere semplicemente connesso?
Mi sa che allora non ho ben chiaro come individuare un dominio semplicemente connesso..
Ad esempio, nel caso precedente, la restrizione $y > 0$ non implica che il dominio non sia semplicemente connesso, giusto? Parliamo pur sempre di due quadranti del piano cartesiano.
Ad esempio, nel caso precedente, la restrizione $y > 0$ non implica che il dominio non sia semplicemente connesso, giusto? Parliamo pur sempre di due quadranti del piano cartesiano.
"Mr.Mazzarr":
Mi sa che allora non ho ben chiaro come individuare un dominio semplicemente connesso..
Qual'è la definizione di semplice connessione?
Hai provato a cercare qualcosa? Magari su questo forum: viewtopic.php?f=36&t=139197&p=884175
"Mr.Mazzarr":
Ad esempio, nel caso precedente, la restrizione $y > 0$ non implica che il dominio non sia semplicemente connesso, giusto? Parliamo pur sempre di due quadranti del piano cartesiano.
Perché due quadrati? \(y > 0\) è un semipiano, che è banalmente semplicemente connesso.
Un insieme semplicemente connesso è un insieme connesso privo di ''buchi''.
E' una definizione probabilmente poco matematica, ma rende l'idea di ciò che si vuol dire.
Ora, il punto è che avrei anche capito in linea di massima cos'è un semplicemente connesso ma non so individuarlo.
Che $y > 0$ lo sia, l'ho capito. Ad esempio se la forma differenziale è con $x^2 + y^2$ a denominatore, so che non è semplicemente connesso perchè ho un dominio privo di un punto $(0, 0)$.
Però non ho capito perchè un insieme privo di una semiretta è semplicemente connesso ma un insieme privo di un iperbole, una parabola o un ellisse non è semplicemente connesso (o addirittura non è connesso proprio).
E' una definizione probabilmente poco matematica, ma rende l'idea di ciò che si vuol dire.
Ora, il punto è che avrei anche capito in linea di massima cos'è un semplicemente connesso ma non so individuarlo.
Che $y > 0$ lo sia, l'ho capito. Ad esempio se la forma differenziale è con $x^2 + y^2$ a denominatore, so che non è semplicemente connesso perchè ho un dominio privo di un punto $(0, 0)$.
Però non ho capito perchè un insieme privo di una semiretta è semplicemente connesso ma un insieme privo di un iperbole, una parabola o un ellisse non è semplicemente connesso (o addirittura non è connesso proprio).
Partiamo dalle tua definizione:
Come hai scritto tu, per poter parlare di semplice connessione occorre innanzi tutto che l'insieme sia connesso[nota]In realtà servirebbe di più che la connessione, ovvero la connessione per archi, ma a parte casi patologici possiamo sorvolare su questa sfumatura[/nota]. Ci sei?
Ergo se un insieme non è connesso non è possibile che sia semplicemente connesso. Ti trovi?
Prendiamo il piano, togliamogli una retta (ad esempio la retta $x=0$). L'insieme è connesso? Ovvero, per ogni coppia di punti appartenenti a tale insieme, esiste un arco appartenente all'insieme, che congiunge i due punti? Mi sembra che la risposta sia abbastanza banale: no! Se prendo ad esempio i punti $(1,1)$ e $(-1,1)$ non ho modo di congiungerli con un arco senza "attraversare" la retta $x = 0$ che non appartiene all'insieme.
Lo stesso nel caso della tua parabola. Il piano privato di una parabola è unione disgiunta di due insiemi connessi (addirittura semplicemente connessi) che per definizione non è connesso.
[size=150]Detto ciò ti consiglio di prendere un foglio e provare a farti i disegni di quanto detto.[/size]
Poi se vuoi ne possiamo parlare, ma cerca di lavorarci un po' su.
"Mr.Mazzarr":
Un insieme semplicemente connesso è un insieme connesso privo di ''buchi''.
Come hai scritto tu, per poter parlare di semplice connessione occorre innanzi tutto che l'insieme sia connesso[nota]In realtà servirebbe di più che la connessione, ovvero la connessione per archi, ma a parte casi patologici possiamo sorvolare su questa sfumatura[/nota]. Ci sei?
Ergo se un insieme non è connesso non è possibile che sia semplicemente connesso. Ti trovi?
Prendiamo il piano, togliamogli una retta (ad esempio la retta $x=0$). L'insieme è connesso? Ovvero, per ogni coppia di punti appartenenti a tale insieme, esiste un arco appartenente all'insieme, che congiunge i due punti? Mi sembra che la risposta sia abbastanza banale: no! Se prendo ad esempio i punti $(1,1)$ e $(-1,1)$ non ho modo di congiungerli con un arco senza "attraversare" la retta $x = 0$ che non appartiene all'insieme.
Lo stesso nel caso della tua parabola. Il piano privato di una parabola è unione disgiunta di due insiemi connessi (addirittura semplicemente connessi) che per definizione non è connesso.
[size=150]Detto ciò ti consiglio di prendere un foglio e provare a farti i disegni di quanto detto.[/size]
Poi se vuoi ne possiamo parlare, ma cerca di lavorarci un po' su.
D'accordo, ci siamo.
Ad esempio:
$omega = (y/(x^2+y^2) + logy) dx + (x/y - x/(x^2+y^2)) dy$
In questo caso il dominio è ovviamente privo dell'origine $(0, 0)$, ma al tempo stesso anche di qualsiasi altro punto avente $y = 0$. Ora, ci troviamo sempre in una circonferenza, giusto? Devo considerare che sia l'origine che tutti i punti aventi $y = 0$ non sono parte del dominio (quindi diciamo ila diametro orizzontale passante per l'origine). L'insieme non può essere semplicemente connesso perchè non è connesso, in quanto se prendo i punti, ad esempio, $(1, 1)$ e $(-1, -1)$ non posso congiugerli senza intaccare nella retta $y = 0$.
Come ti sembra il mio discorso?
Nel caso fosse corretto, calcolo lo stesso una primitiva di $omega$ e controllo che essa non sia definita nell'origine e per $y = 0$; se lo è, posso dire che la mia forma differenziale NON ammette una primitiva.
Ad esempio:
$omega = (y/(x^2+y^2) + logy) dx + (x/y - x/(x^2+y^2)) dy$
In questo caso il dominio è ovviamente privo dell'origine $(0, 0)$, ma al tempo stesso anche di qualsiasi altro punto avente $y = 0$. Ora, ci troviamo sempre in una circonferenza, giusto? Devo considerare che sia l'origine che tutti i punti aventi $y = 0$ non sono parte del dominio (quindi diciamo ila diametro orizzontale passante per l'origine). L'insieme non può essere semplicemente connesso perchè non è connesso, in quanto se prendo i punti, ad esempio, $(1, 1)$ e $(-1, -1)$ non posso congiugerli senza intaccare nella retta $y = 0$.
Come ti sembra il mio discorso?
Nel caso fosse corretto, calcolo lo stesso una primitiva di $omega$ e controllo che essa non sia definita nell'origine e per $y = 0$; se lo è, posso dire che la mia forma differenziale NON ammette una primitiva.
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