Insieme di convergenza uniforme
Spesso mi trovo a dover calcolare il raggio di convergenza $rho$ e l'insieme di convergenza uniforme di una serie di potenze.
Vorrei però delle delucidazioni sull'insieme, che su internet non ho trovato.
Presa una qualsiasi serie, ne calcolo il raggio di convergenza. Calcolato, studio la serie mediante le $x = pm rho$.
Una volta ottenuto determinati risultati, come li elaboro per ottenere l'insieme di convergenza?
Vi ringrazio.
Vorrei però delle delucidazioni sull'insieme, che su internet non ho trovato.
Presa una qualsiasi serie, ne calcolo il raggio di convergenza. Calcolato, studio la serie mediante le $x = pm rho$.
Una volta ottenuto determinati risultati, come li elaboro per ottenere l'insieme di convergenza?
Vi ringrazio.
Risposte
come una serie numerica normale..
cioè allora questa è la tua serie di potenze $ \sum_(n=1)^(+\infty) a_n x^n $
e ammettiamo che i raggio di convergenza sia finito e ti venga $ R=\alpha $ con $ \alpha\in RR-\{0\} $
allora puoi già dire che la converge puntualmente in $ I=(-\alpha,\alpha) $
converge agli estremi dell'intervallo?..devi andarlo a verificare..manualmente
cioè $ x=\alpha\to \sum_(n=1)^(+\infty)a_n (\alpha)^n $ e vedi se converge/diverge
poi fai $ x=-\alpha\to \sum_(n=1)^(+\infty)a_n (-\alpha)^n $ stesso discorso di prima..
se converge in entrambi i casi..allora dici che converge UNIFORMEMENTE.. in $ I=[-\alpha,\alpha] $
cioè allora questa è la tua serie di potenze $ \sum_(n=1)^(+\infty) a_n x^n $
e ammettiamo che i raggio di convergenza sia finito e ti venga $ R=\alpha $ con $ \alpha\in RR-\{0\} $
allora puoi già dire che la converge puntualmente in $ I=(-\alpha,\alpha) $
converge agli estremi dell'intervallo?..devi andarlo a verificare..manualmente
cioè $ x=\alpha\to \sum_(n=1)^(+\infty)a_n (\alpha)^n $ e vedi se converge/diverge
poi fai $ x=-\alpha\to \sum_(n=1)^(+\infty)a_n (-\alpha)^n $ stesso discorso di prima..
se converge in entrambi i casi..allora dici che converge UNIFORMEMENTE.. in $ I=[-\alpha,\alpha] $
Nel caso in cui divergesse in uno o in entrambi i casi?
Ragazzi volevo chiedervi se esatto lo svolgimento di questo esercizio:
"Determinare l’insieme di convergenza e studiare la convergenza totale delle seguenti serie di funzioni:
$sum [(-1)^n * (1/(n+2^n))]*(x^2-1)^n$
Ho calcolato il raggio di convergenza usando il teorema della radice ed ottengo che è uguale a $2$.
La convergenza uniforme è quindi in $I = (-2, 2)$. Studiando la serie in $x = pm 2$ ottengo che non converge negli estremi dell'intervallo è quindi posso dire che converge Uniformemente e totalmente in ogni sottoinsieme compatto di $I$.
È esatto? Grazie.
"Determinare l’insieme di convergenza e studiare la convergenza totale delle seguenti serie di funzioni:
$sum [(-1)^n * (1/(n+2^n))]*(x^2-1)^n$
Ho calcolato il raggio di convergenza usando il teorema della radice ed ottengo che è uguale a $2$.
La convergenza uniforme è quindi in $I = (-2, 2)$. Studiando la serie in $x = pm 2$ ottengo che non converge negli estremi dell'intervallo è quindi posso dire che converge Uniformemente e totalmente in ogni sottoinsieme compatto di $I$.
È esatto? Grazie.
Ho un dubbio riguardo questa serie:
$sum (-1)^n * 1/(n4^n) * (logx)^n$
Il raggio di convergenza è $4$. Considerando che il logaritmo con $x=-4$ non esiste, posso direttamente dire che non c'è convergenza uniforme in $x=-4$ ?
$sum (-1)^n * 1/(n4^n) * (logx)^n$
Il raggio di convergenza è $4$. Considerando che il logaritmo con $x=-4$ non esiste, posso direttamente dire che non c'è convergenza uniforme in $x=-4$ ?
Ragazzi devo studiare la convergenza uniforme della serie:
$sum ((n)/(2^n*logn))*(senx)^n$
Calcolando il raggio di convergenza ottengo che è pari a $2$. Come calcolo la convergenza uniforme?
$sum ((n)/(2^n*logn))*(senx)^n$
Calcolando il raggio di convergenza ottengo che è pari a $2$. Come calcolo la convergenza uniforme?
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