Insieme di convergenza-serie di potenze
salve a tutti, ho la seguente serie:
$ sum(4^n*e^(nx))/sqrt(5n+7pi) $
ricavo il raggio di convergenza applicando a sostituzione y=e^n
con il criterio della radice il limite viene esattamente 4:
$ lim root(n)((4^n) / sqrt(5n+7pi)) = 4 $
quindi il raggio è 1/4..
per y=1/4, la serie diventa:
$ sum(1/(sqrt(5n+7pi))) <= sum1/sqrtn $
e di conseguenza per il criterio del confronto risulta divergente, escludo 1/4 dall'insieme
per y=-1/4:
$ sum((-1)^n/(sqrt(5n+7pi))) $
applicando il criterio di liebniz risulta invece convergente. quindi l'insieme trovato è I=[-1/4,1/4)
adesso per trovare l'insieme dell serie originale devo applicare la trasformazione y=e^x, quindi x=ln(y):
e l'insieme diventa: I=[ln(-1/4),ln(1/4)) -> I=[-ln(4),0)..
in particolare quest'ultimo passaggio della sostituzione, pensate che sia giusto?
$ sum(4^n*e^(nx))/sqrt(5n+7pi) $
ricavo il raggio di convergenza applicando a sostituzione y=e^n
con il criterio della radice il limite viene esattamente 4:
$ lim root(n)((4^n) / sqrt(5n+7pi)) = 4 $
quindi il raggio è 1/4..
per y=1/4, la serie diventa:
$ sum(1/(sqrt(5n+7pi))) <= sum1/sqrtn $
e di conseguenza per il criterio del confronto risulta divergente, escludo 1/4 dall'insieme
per y=-1/4:
$ sum((-1)^n/(sqrt(5n+7pi))) $
applicando il criterio di liebniz risulta invece convergente. quindi l'insieme trovato è I=[-1/4,1/4)
adesso per trovare l'insieme dell serie originale devo applicare la trasformazione y=e^x, quindi x=ln(y):
e l'insieme diventa: I=[ln(-1/4),ln(1/4)) -> I=[-ln(4),0)..
in particolare quest'ultimo passaggio della sostituzione, pensate che sia giusto?
Risposte
Senza fare le sostituzioni, io ragionerei così:
\[
\sum \frac{(4e^x)^n}{\sqrt{5n+7\pi}}
\]
converge se e solo se $|4e^x|<1$ (ovvero $4e^x<1$). Dunque $e^x<1/4$ e quindi $x<\ln (1/4)$.
Il fatto è che tu dici che il raggio di convergenza è $1/4$, e quindi l'insieme in cui $y$ deve stare è $[-1/4,1/4)$. Ma $y$ non sarà mai minore di $0$ dato che $y=e^x$, quindi è inutile porre la restrizione $y\geq -1/4$.
Infatti quando dici
Hai scritto $I=[\ln(-1/4),\ln(1/4))$... non ti sembra ci sia qualcosa di sbagliato in $\ln(-1/4)$? E come mai poi $I$ diventa $[-\ln 4,0)$?
\[
\sum \frac{(4e^x)^n}{\sqrt{5n+7\pi}}
\]
converge se e solo se $|4e^x|<1$ (ovvero $4e^x<1$). Dunque $e^x<1/4$ e quindi $x<\ln (1/4)$.
Il fatto è che tu dici che il raggio di convergenza è $1/4$, e quindi l'insieme in cui $y$ deve stare è $[-1/4,1/4)$. Ma $y$ non sarà mai minore di $0$ dato che $y=e^x$, quindi è inutile porre la restrizione $y\geq -1/4$.
Infatti quando dici
"nicco.c":
adesso per trovare l'insieme dell serie originale devo applicare la trasformazione y=e^x, quindi x=ln(y):
e l'insieme diventa: I=[ln(-1/4),ln(1/4)) -> I=[-ln(4),0)..
Hai scritto $I=[\ln(-1/4),\ln(1/4))$... non ti sembra ci sia qualcosa di sbagliato in $\ln(-1/4)$? E come mai poi $I$ diventa $[-\ln 4,0)$?
il logaritmo di un numero negativo non esiste di conseguenza ho pensato che il numero più vicino fosse 0... pero è anche vero che $ ln(1/4) $ è un numero negativo... di conseguenza mi trovo a lavorare con 0 e un numero negativo e l'ordine degli estremi si scambia... questo è il ragionamento che ho fatto..
Certo che è un numero negativo... infatti l'intervallo è $(-\infty,-\ln(4))$.
grazie mille!!
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