Insieme di convergenza di una serie di potenze
Si determini l'insieme di convergenza della serie
$ sum_(n = 1)^( oo ) (z-5)^n/(n^3(1+i)^n) $
Come procedereste e che insieme trovate?
$ sum_(n = 1)^( oo ) (z-5)^n/(n^3(1+i)^n) $
Come procedereste e che insieme trovate?
Risposte
In cosa ti blocchi di preciso?
Scrivo i passaggi:
- E' una serie centrata in z=5
- Calcolo il raggio di convergenza con il criterio del rapporto:
$ l=lim_(n -> oo ) |n^3(1+i)^n|/|(n+1)^3(1+i)^(n+1)| =lim_(n -> oo ) (n^3nsqrt(2) )/((n+1)^3(n+1)sqrt(2)) = lim_(n -> oo ) n^4/(n+1)^4 =1 $
Raggio di convergenza: $ 1/l = 1 $
Insieme di convergenza: punti che distano meno di 1 dal centro di convergenza, che in questo caso è z=5.
Ho sbagliato qualcosa?
- E' una serie centrata in z=5
- Calcolo il raggio di convergenza con il criterio del rapporto:
$ l=lim_(n -> oo ) |n^3(1+i)^n|/|(n+1)^3(1+i)^(n+1)| =lim_(n -> oo ) (n^3nsqrt(2) )/((n+1)^3(n+1)sqrt(2)) = lim_(n -> oo ) n^4/(n+1)^4 =1 $
Raggio di convergenza: $ 1/l = 1 $
Insieme di convergenza: punti che distano meno di 1 dal centro di convergenza, che in questo caso è z=5.
Ho sbagliato qualcosa?
Mi pare giusto. Se c'è qualche errore, al massimo sarà nei conti.
Ma [tex]$|(1+\imath )^n|=|1+\imath|^n=(\sqrt{2}\ )^n=2^\frac{n}{2}$[/tex]...
Hai ragione, ho fatto confusione... svolgendo i calcoli ottengo, sempre col criterio del rapporto, $ l=1/sqrt(2) $ -> raggio di convergenza $ R = sqrt( 2 ) $... Corretto?
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