Insieme di convergenza di una serie di funzioni
Salve, non riesco a calcolare , al variare del parametro "a" linsieme di convergenza della seguente serie di funzioni....ho sepre lavorato con serie di potenze quindi non sono sicuro del procedimento:
$ sum_(n =1) ^(+oo ) e^(xn)/n^a $
dato che una condizione necessaria è che la serie sia infinitesima ho trovato che x<0
ma oltre a questo non riesco ad andare avanti...
Da uello che ho capito mi richiede la convergenza puntuale perchè nei punti successivi mi richiede di studiare la convergenza uniforme al variare del valore di a ( a=0 , a=2 ).
Normalmente per calcolare la convergenza puntuale calcolavo il limite per n ad infinito trattando la x come un parametro.
$ lim_(n ->oo ) e^(nx)/n^a = lim_(n ->oo )0/n^a = x<0;{ ( a<0 ;lim_(n ->oo )e^(nx)/n^a = 0 ),( a=0 ;lim_(n ->oo )e^(nx) =0 ),(a>0; lim_(n ->oo )e^(nx)/n^a = 0 ):} $
(scusate la scrittura)
il che mi porta a dire che il parametro a non influisce sulla serie e che l'insieme di convergenza sia x<0.....cosa che no ha molto senso.....qualcuno può aiutarmi?
$ sum_(n =1) ^(+oo ) e^(xn)/n^a $
dato che una condizione necessaria è che la serie sia infinitesima ho trovato che x<0
ma oltre a questo non riesco ad andare avanti...
Da uello che ho capito mi richiede la convergenza puntuale perchè nei punti successivi mi richiede di studiare la convergenza uniforme al variare del valore di a ( a=0 , a=2 ).
Normalmente per calcolare la convergenza puntuale calcolavo il limite per n ad infinito trattando la x come un parametro.
$ lim_(n ->oo ) e^(nx)/n^a = lim_(n ->oo )0/n^a = x<0;{ ( a<0 ;lim_(n ->oo )e^(nx)/n^a = 0 ),( a=0 ;lim_(n ->oo )e^(nx) =0 ),(a>0; lim_(n ->oo )e^(nx)/n^a = 0 ):} $
(scusate la scrittura)
il che mi porta a dire che il parametro a non influisce sulla serie e che l'insieme di convergenza sia x<0.....cosa che no ha molto senso.....qualcuno può aiutarmi?
Risposte
essendo una serie a termini positivi io direi di usare il criterio del rapporto
\(\displaystyle lim_{n\to\infty} \frac{e^{(n+1)x}}{(n+1)^{a}} \frac{n^{a}}{e^{nx}}\) cioè
\(\displaystyle lim_{n\to\infty} e^x (\frac{n}{n+1})^{a}=e^{x}\)
sicuramente ,per ogni a,la serie converge per x<0
cosa succede per x=0?
la serie ha come termine generale\(\displaystyle \frac{1}{n^{a}} \) (serie armonica generalizzata) e converge per a>1
quindi,la serie data converge in
\(\displaystyle (- \infty,0) \) per \(\displaystyle a\leq1 ;
(- \infty,0] \)per \(\displaystyle a>1 \)
\(\displaystyle lim_{n\to\infty} \frac{e^{(n+1)x}}{(n+1)^{a}} \frac{n^{a}}{e^{nx}}\) cioè
\(\displaystyle lim_{n\to\infty} e^x (\frac{n}{n+1})^{a}=e^{x}\)
sicuramente ,per ogni a,la serie converge per x<0
cosa succede per x=0?
la serie ha come termine generale\(\displaystyle \frac{1}{n^{a}} \) (serie armonica generalizzata) e converge per a>1
quindi,la serie data converge in
\(\displaystyle (- \infty,0) \) per \(\displaystyle a\leq1 ;
(- \infty,0] \)per \(\displaystyle a>1 \)
Grazie, ho dimenticato di riportare i calcoli del teorema del rapporto : mi venivano quei risalutati infatti solo che mi sembrava banale:) mi rincuora il fatto di essere stato sulla buona strada per la soluzione:) grazie di tutto
sì,in effetti la questione interessante era solo il comportamento in x=0
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