Insieme di convergenza di serie di potenza

[ciccioxx92-votailprof]

Salve a tutti, vi scoccio ancora per un altro dubbio, che mi assale prima dell'esame. Sicuramente commetto qualche diavoleria io, perciò meglio chiarire subito.
Mi viene data una serie di potenza di cui io devo stabilire l'insieme di convergenza.
La serie è: $\sum_{n=0}^infty (-1)^(3n)(2^(2n-1)-3^(n+1))/(n^7 5^n)(1/4 x - 7)^n$

Adesso, a me è venuto in mente di applicare il teorema della radice -o di Cauchy-Hadamard- (così da potermi ricavare il raggio di convergenza e poi vedere negli estremi cosa succede). Da cui banalmente mi trovo:
$\lim_{n} (2^(2n-1) - 3^(n+1))/(n^7 5^n)$, che risolto non mi esce per niente ciò che c'è nei risultati (a me uscirebbe 5).

Grazie in anticipo a chi mi aiuta, soprattutto a capire se il principio che applico è giusto per la conoscenza del della serie.

Saluti a tutti,

Francesco

[poncelet]

Non ho verificato i calcoli, ma se hai che la serie diverge agli estremi dell'intervallo di convergenza avrai convergenza puntuale ed assoluta nell'intervallo $(-R,R)$. Per quanto riguarda la convergenza uniforme dovrebbe essere che la serie converge uniformemente in tutti gli intervalli $[-k,k]$ con $k \in [0,R)$. Spero di non aver detto boiate.

[ciccioxx92-votailprof]

"maxsiviero":Non ho verificato i calcoli, ma se hai che la serie diverge agli estremi dell'intervallo di convergenza avrai convergenza puntuale ed assoluta nell'intervallo $(-R,R)$. Per quanto riguarda la convergenza uniforme dovrebbe essere che la serie converge uniformemente in tutti gli intervalli $[-k,k]$ con $k \in [0,R)$. Spero di non aver detto boiate.

Io sono arrivato a dire le tue stesse cose. Ma se un prof. mi scrive:

Determinare l'insieme di convergenza puntuale della serie e mostrare che la serie converge anche uniformemente su tale intervallo.

Con tale intervallo, credo che intenda dire di escludere $R$. Altrimenti non mi trovo con la definizione!

EDIT: No vabbè, ho detto 'na boiata. L'intervallo già esclude $R$...

[ciccioxx92-votailprof]

Volevo sapere se è vero che il raggio di convergenza della serie
$\sum_{n=1}^infty 1/(1+n) (sin (1/(4n)))(x/3)^n$ sia $0$.
Applicando il criterio della radice mi viene in sostanza la radice di quel seno, che per $n->infty$ è proprio 0.
Grazie in anticipo.

Francesco

[ludwigZero]

"ciccioxx92":Volevo sapere se è vero che il raggio di convergenza della serie
$\sum_{n=1}^infty 1/(1+n) (sin (1/(4n)))(x/3)^n$ sia $0$.
Applicando il criterio della radice mi viene in sostanza la radice di quel seno, che per $n->infty$ è proprio 0.
Grazie in anticipo.

Francesco

io mi trovo

lim as n->+oo ((1/(n+1) (sin (1/(4n)) (1/3^n))^(1/n) = 0


che il raggio di convergenza è $+oo$

vi trovate anche voi?

inoltre sto nel caso del $r=+oo$ cioè: la serie converge assolutamente in ogni $x$ di $RR$ e totalmente in ogni intervallo chiuso e limitato di $RR$

quindi il risultato come verrebbe? finirebbe qui l'esercizio? grazie

[ludwigZero]

"ciccioxx92":Rispolvero questo thread, perché non so se faccio il giusto ragionamento.
Ho la serie di potenze: $\sum_{n=1}^infty ((-1)^n /(3^n n^3) + (n+3)/n^5 )x^n$
Adesso mi sono riuscito a calcolare il raggio di convergenza e mi viene 3.
Devo studiare il comportamento agli estremi. Per $x=3$, abbiamo: $\sum (-1)^n/n^3 3^n$ che diverge e $\sum (n+3)/n^5 3^n$ che diverge anch'essa.
Comportamento analogo per $x=-3$.
Quindi la serie non converge puntualmente negli estremi.
Convergerà uniformemente $AAk in RR, 0 E' tutto giusto?

a me non viene 3 .....

su wolfram quel limite dovrebbe venire $1$, ma a me non viene $1$ viene $+oo$ .....