Insieme di convergenza di serie di potenza
Salve a tutti, vi scoccio ancora per un altro dubbio, che mi assale prima dell'esame. Sicuramente commetto qualche diavoleria io, perciò meglio chiarire subito.
Mi viene data una serie di potenza di cui io devo stabilire l'insieme di convergenza.
La serie è: $\sum_{n=0}^infty (-1)^(3n)(2^(2n-1)-3^(n+1))/(n^7 5^n)(1/4 x - 7)^n$
Adesso, a me è venuto in mente di applicare il teorema della radice -o di Cauchy-Hadamard- (così da potermi ricavare il raggio di convergenza e poi vedere negli estremi cosa succede). Da cui banalmente mi trovo:
$\lim_{n} (2^(2n-1) - 3^(n+1))/(n^7 5^n)$, che risolto non mi esce per niente ciò che c'è nei risultati (a me uscirebbe 5).
Grazie in anticipo a chi mi aiuta, soprattutto a capire se il principio che applico è giusto per la conoscenza del della serie.
Saluti a tutti,
Francesco
Mi viene data una serie di potenza di cui io devo stabilire l'insieme di convergenza.
La serie è: $\sum_{n=0}^infty (-1)^(3n)(2^(2n-1)-3^(n+1))/(n^7 5^n)(1/4 x - 7)^n$
Adesso, a me è venuto in mente di applicare il teorema della radice -o di Cauchy-Hadamard- (così da potermi ricavare il raggio di convergenza e poi vedere negli estremi cosa succede). Da cui banalmente mi trovo:
$\lim_{n} (2^(2n-1) - 3^(n+1))/(n^7 5^n)$, che risolto non mi esce per niente ciò che c'è nei risultati (a me uscirebbe 5).
Grazie in anticipo a chi mi aiuta, soprattutto a capire se il principio che applico è giusto per la conoscenza del della serie.
Saluti a tutti,
Francesco
Risposte
Guarda se il mio risultato coincide con le soluzioni:
$\lim_{n\to\infty}\frac{4^{n}-3^{n+1}}{2*n^{7}*5^{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{4^{n}}{2*n^{7}*5^{n}}$
Se applichi la radice ennesima ottieni:
$\lim_{n\to\infty}(\frac{4^{n}}{2*n^{7}*5^{n}})^{\frac{1}{n}}=\lim_{n\to\infty}(\frac{4^{n}}{5^{n}})^{\frac{1}{n}}=\lim_{n\to\infty}((\frac{4}{5})^{n})^{\frac{1}{n}}=\frac{4}{5}$
Da cui $r=\frac{1}{\lambda}=frac{1}{\frac{4}{5}}=\frac{5}{4}$
$\lim_{n\to\infty}\frac{4^{n}-3^{n+1}}{2*n^{7}*5^{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{4^{n}}{2*n^{7}*5^{n}}$
Se applichi la radice ennesima ottieni:
$\lim_{n\to\infty}(\frac{4^{n}}{2*n^{7}*5^{n}})^{\frac{1}{n}}=\lim_{n\to\infty}(\frac{4^{n}}{5^{n}})^{\frac{1}{n}}=\lim_{n\to\infty}((\frac{4}{5})^{n})^{\frac{1}{n}}=\frac{4}{5}$
Da cui $r=\frac{1}{\lambda}=frac{1}{\frac{4}{5}}=\frac{5}{4}$
E' sostanzialmente il risultato a cui sono arrivato io. Nelle possibili risposte c'è (ovviamente, per cercare di ... insomma ci siamo capiti) ma non è la risposta esatta. 
Anche io ero arrivato a quel raggio di convergenza, ma a quanto pare non è corretto.
Anche io ero arrivato a quel raggio di convergenza, ma a quanto pare non è corretto.
A qualcuno viene qualche altra idea?
Come posso fare altrimenti?
Come posso fare altrimenti?
Ho provato a farlo con il criterio del rapporto e ho ottenuto $\frac{5}{2}$. Fammi sapere!
Neanche quello.
Deve venire [23,33]
Deve venire [23,33]
Il criterio di Cauchy Hadamard va bene:
se poni $a_n=\frac{(-1)^{3n}(2^{2n-1}-3^{n+1})}{n^{7}5^{n}}$ e $w=\frac{1}{4}x-7$ hai che
\[
\lim_{n \to \infty}|a_n|^{1/n}=\lim_{n \to \infty}\left(\frac{|2^{2n-1}-3^{n+1}|}{n^{7}5^{n}}\right)^{1/n}=\frac{4}{5}
\]
e quindi il raggio di convergenza della serie
\[
\sum_{n=0}^{\infty}a_nw^{n}
\]
è $R=\frac{5}{4}$. Adesso per trovare il raggio di convergenza della serie originaria devi fare
\[
|w|<\frac{5}{4} \implies |\frac{1}{4}x-7|<\frac{5}{4}
\]
Se svolgi i calcoli ottieni il risultato. Devi anche studiarti il comportamento della serie agli estremi.
se poni $a_n=\frac{(-1)^{3n}(2^{2n-1}-3^{n+1})}{n^{7}5^{n}}$ e $w=\frac{1}{4}x-7$ hai che
\[
\lim_{n \to \infty}|a_n|^{1/n}=\lim_{n \to \infty}\left(\frac{|2^{2n-1}-3^{n+1}|}{n^{7}5^{n}}\right)^{1/n}=\frac{4}{5}
\]
e quindi il raggio di convergenza della serie
\[
\sum_{n=0}^{\infty}a_nw^{n}
\]
è $R=\frac{5}{4}$. Adesso per trovare il raggio di convergenza della serie originaria devi fare
\[
|w|<\frac{5}{4} \implies |\frac{1}{4}x-7|<\frac{5}{4}
\]
Se svolgi i calcoli ottieni il risultato. Devi anche studiarti il comportamento della serie agli estremi.
"maxsiviero":
Adesso per trovare il raggio di convergenza della serie originaria devi fare
\[
|w|<\frac{5}{4} \implies |\frac{1}{4}x-7|<\frac{5}{4}
\]
Se svolgi i calcoli ottieni il risultato. Devi anche studiarti il comportamento della serie agli estremi.
Quest'ultima cosa da dove si ottiene o come si chiama? E' un metodo fisso?
Non è per mancanza di fiducia, ma vorrei avere le idee leggermente più chiare. Ho capito che io prima trovavo il raggio di convergenza solo della serie per cui applicavo il teorema e che in realtà a me interessa rispetto alla serie di potenza, ma è solo per questo motivo? Mi spieghi meglio l'ultima disuguaglianza? Grazie mille, mi stai chiarendo un dubbio non da poco.
Non si tratta di nulla di più di una sostituzione per ricondursi alla forma consueta delle serie di potenze:
\[
\sum_{n=0}^{\infty}a_nw^{n}
\]
per poi successivamente, una volta ricavato il raggio di convergenza, ritornare alla serie originaria. Nel tuo caso specifico ci siamo ricavati il r.d.c. ($\frac{5}{4}$) quindi abbiamo che $|w|=|\frac{1}{4}x-7|<\frac{5}{4}$ che ti da la regione di convergenza richiesta. Ti manca solo di calcolare il comportamento della serie agli estremi.
\[
\sum_{n=0}^{\infty}a_nw^{n}
\]
per poi successivamente, una volta ricavato il raggio di convergenza, ritornare alla serie originaria. Nel tuo caso specifico ci siamo ricavati il r.d.c. ($\frac{5}{4}$) quindi abbiamo che $|w|=|\frac{1}{4}x-7|<\frac{5}{4}$ che ti da la regione di convergenza richiesta. Ti manca solo di calcolare il comportamento della serie agli estremi.
"ciccioxx92":
[quote="maxsiviero"]Adesso per trovare il raggio di convergenza della serie originaria devi fare
\[
|w|<\frac{5}{4} \implies |\frac{1}{4}x-7|<\frac{5}{4}
\]
Se svolgi i calcoli ottieni il risultato. Devi anche studiarti il comportamento della serie agli estremi.
Quest'ultima cosa da dove si ottiene o come si chiama? E' un metodo fisso?
Non è per mancanza di fiducia, ma vorrei avere le idee leggermente più chiare. Ho capito che io prima trovavo il raggio di convergenza solo della serie per cui applicavo il teorema e che in realtà a me interessa rispetto alla serie di potenza, ma è solo per questo motivo? Mi spieghi meglio l'ultima disuguaglianza? Grazie mille, mi stai chiarendo un dubbio non da poco.
[/quote]Ok, ieri sera era tardi e non ci capivo più niente di ciò che facevo.
maxsiviero sei stato molto esaustivo e mi hai chiarito un dubbio grandissimo. Grazie mille.
Adesso mi è tutto chiaro.
Grazie ancora.
Mi hai risposto nello stesso momento.
L'ho riletto questa mattina e tutto mi è sembrato chiaro.
Tra l'altro il nostro prof l'aveva messo nelle osservazioni.
Grazie ancora.
L'ho riletto questa mattina e tutto mi è sembrato chiaro.
Tra l'altro il nostro prof l'aveva messo nelle osservazioni.
Grazie ancora.
E ancora un dubbio su un insieme di convergenza.
Mi viene detto che la serie di potenze $\sum_{n=0}^infty a_n x^n$ è convergente puntualmente a $\(-R,R)$, con $\R in (0, +infty)$. Allora l'insieme di convergenza puntuale della serie $\sum_{n=0}^infty a_n 3^(nx)$ è?
Io mi sono detto, riscriviamoci l'ultima serie in modo che sia una serie di potenze "classica", come piacerebbe a noi. Quindi, (già qui ho dei dubbi su ciò che faccio), il nostro $\3^(nx)$ diventa (secondo me) $x^(3n)$.
Quindi conoscendo il nostro $R$, pongo che $|x^3| < R$.
Quanti miliardi di boiate/erroracci ho fatto?
Grazie.
Mi viene detto che la serie di potenze $\sum_{n=0}^infty a_n x^n$ è convergente puntualmente a $\(-R,R)$, con $\R in (0, +infty)$. Allora l'insieme di convergenza puntuale della serie $\sum_{n=0}^infty a_n 3^(nx)$ è?
Io mi sono detto, riscriviamoci l'ultima serie in modo che sia una serie di potenze "classica", come piacerebbe a noi. Quindi, (già qui ho dei dubbi su ciò che faccio), il nostro $\3^(nx)$ diventa (secondo me) $x^(3n)$.
Quindi conoscendo il nostro $R$, pongo che $|x^3| < R$.
Quanti miliardi di boiate/erroracci ho fatto?
Grazie.
Devi porre $w=3^{x}$ e studiare la serie $\sum_{n=0}^{\infty}a_nw^{n}$. Chi è $a_n$?
Non lo conosco. Uno qualsiasi. E' uno generico. Stessa cosa vale per R.
"maxsiviero":
Devi porre $w=3^{x}$
Ah, giusto. In sostanza a me interessa quello. Cioè ciò che devo fare io è classificare la base (in x) che ha come esponente n. E nel nostro caso è proprio $w=3^{x}$. Adesso capisco. Allora credo di aver già capito come fare. Allo stesso modo di prima, in sostanza. Cioè una volta che conosco il R (raggio di convergenza) impongo la disuguaglianza che mi hai detto ieri.
Mi stai illuminando d'immenso (cit.).
Il procedimento è infatti quello di ricondursi (se possibile) con una sostituzione a studiare la serie $\sum_{n=0}^{\infty}a_nw^{n}$ utilizzando i criteri che conosci per determinare il r.d.c. e poi riportarti alla serie originale imponendo la disuguaglianza al termine della tua serie.
Sempre chiarissimo. Grazie mille. Sei stato gentilissimo.
Vediamo se avrò bisogno di "romperti" ancora o meno.
Grazie.
Vediamo se avrò bisogno di "romperti" ancora o meno.
Grazie.
Una curiosità. Hai provato a svolgere l'ultima?
Non mi trovo con il risultato. O meglio sbaglio qualcosa.
Il risultato è $\(-infty,log_3 R)$ mentre a me viene $(-log_3 R, log_3 R)$.
Qual è il mio errore?
Non mi trovo con il risultato. O meglio sbaglio qualcosa.
Il risultato è $\(-infty,log_3 R)$ mentre a me viene $(-log_3 R, log_3 R)$.
Qual è il mio errore?
Siccome \(3^{x} > 0 \quad \forall x \in \mathbb{R} \) hai che $|3^{x}|=3^{x}$ e quindi la disequazione che devi risolvere è \(3^{x} < R \implies x < \log_3R\) ed il tuo intervallo di convergenza è $(-\infty, \log_3R)$.
"maxsiviero":
Siccome \(3^{x} > 0 \quad \forall x \in \mathbb{R} \) hai che $|3^{x}|=3^{x}$ e quindi la disequazione che devi risolvere è \(3^{x} < R \implies x < \log_3R\) ed il tuo intervallo di convergenza è $(-\infty, \log_3R)$.
O sei un genio tu, o sono rimbecillito io oggi.
Incredibilmente semplice. Grazie mille.
Rispolvero questo thread, perché non so se faccio il giusto ragionamento.
Ho la serie di potenze: $\sum_{n=1}^infty ((-1)^n /(3^n n^3) + (n+3)/n^5 )x^n$
Adesso mi sono riuscito a calcolare il raggio di convergenza e mi viene 3.
Devo studiare il comportamento agli estremi. Per $x=3$, abbiamo: $\sum (-1)^n/n^3 3^n$ che diverge e $\sum (n+3)/n^5 3^n$ che diverge anch'essa.
Comportamento analogo per $x=-3$.
Quindi la serie non converge puntualmente negli estremi.
Convergerà uniformemente $AAk in RR, 0
Ho la serie di potenze: $\sum_{n=1}^infty ((-1)^n /(3^n n^3) + (n+3)/n^5 )x^n$
Adesso mi sono riuscito a calcolare il raggio di convergenza e mi viene 3.
Devo studiare il comportamento agli estremi. Per $x=3$, abbiamo: $\sum (-1)^n/n^3 3^n$ che diverge e $\sum (n+3)/n^5 3^n$ che diverge anch'essa.
Comportamento analogo per $x=-3$.
Quindi la serie non converge puntualmente negli estremi.
Convergerà uniformemente $AAk in RR, 0
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo