Insieme denso in R

[alberto.frontino]

Salve a tutti, devo dimostrare che, dato $a>1$, il seguente insieme

$E = {a^x : x in QQ} uu {-a^x in QQ}$ con $QQ$ insieme dei numeri razionali, è denso in $RR$.

Dalla definizione di insieme denso, devo cioè dimostrare che, comunque presi $alpha$ e $beta$ reali, esiste un elemento di $E$ compreso fra loro. Io ho supposto $0 $01$, posso scrivere $0

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Risposte

alberto.frontino

5 dic 2014, 19:35

Il mio procedimento non è corretto?

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vict85

5 dic 2014, 23:01

No, è sbagliato. Insomma devi trovare un elemento compreso tra \(\displaystyle \alpha \) e \(\displaystyle \beta \) e non compreso tra altri valori reali qualsiasi.

STEP 1 \(\displaystyle E \) è simmetrico rispetto a \(\displaystyle 0 \). Quindi se \(\displaystyle E^{+} \) è denso a \(\displaystyle \mathbb{R}^+ \) (che suppongo senza lo \(\displaystyle 0 \)) allora \(\displaystyle E \) è denso in \(\displaystyle \mathbb{R} \).
STEP 2 Si ha che \(\displaystyle 1 = a^0 \in E \) ed inoltre \(\displaystyle e^{-1} \in E \) per ogni \(\displaystyle e \in E \). In virtù di ciò, se \(\displaystyle E_{\ge 1} \) è denso in \(\displaystyle \mathbb{R}_{\ge 1} \) allora \(\displaystyle E^+ \) è denso in \(\displaystyle \mathbb{R}^+ \). Rimane quindi da dimostrare che \(\displaystyle E_{\ge 1} = \{ a^x : x\in \mathbb{Q}^+ \}\cup\{ 1 \} \) è denso in \(\displaystyle \mathbb{R}_{\ge 1} \).

Ogni dimostrazione ragionata inizia con questi due passaggi. Fatti quelli fissi \(\displaystyle \alpha > \beta >1 \) e cerchi \(\displaystyle e \in E \) tale che \(\displaystyle \beta < e < \alpha \).

Per quanto riguarda la dimostrazione di Sergio, eviterei l'uso della funzione logaritmo perché, in un certo senso, l'esistenza di una funzione esponenziale utilizza il fatto che \(\displaystyle E^+ \) è denso in \(\displaystyle \mathbf{R}^+ \). Insomma mi da l'impressione che sia un po' circolare.

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[alberto.frontino]

Il mio procedimento non è corretto?

[vict85]

No, è sbagliato. Insomma devi trovare un elemento compreso tra \(\displaystyle \alpha \) e \(\displaystyle \beta \) e non compreso tra altri valori reali qualsiasi.

STEP 1 \(\displaystyle E \) è simmetrico rispetto a \(\displaystyle 0 \). Quindi se \(\displaystyle E^{+} \) è denso a \(\displaystyle \mathbb{R}^+ \) (che suppongo senza lo \(\displaystyle 0 \)) allora \(\displaystyle E \) è denso in \(\displaystyle \mathbb{R} \).
STEP 2 Si ha che \(\displaystyle 1 = a^0 \in E \) ed inoltre \(\displaystyle e^{-1} \in E \) per ogni \(\displaystyle e \in E \). In virtù di ciò, se \(\displaystyle E_{\ge 1} \) è denso in \(\displaystyle \mathbb{R}_{\ge 1} \) allora \(\displaystyle E^+ \) è denso in \(\displaystyle \mathbb{R}^+ \). Rimane quindi da dimostrare che \(\displaystyle E_{\ge 1} = \{ a^x : x\in \mathbb{Q}^+ \}\cup\{ 1 \} \) è denso in \(\displaystyle \mathbb{R}_{\ge 1} \).

Ogni dimostrazione ragionata inizia con questi due passaggi. Fatti quelli fissi \(\displaystyle \alpha > \beta >1 \) e cerchi \(\displaystyle e \in E \) tale che \(\displaystyle \beta < e < \alpha \).

Per quanto riguarda la dimostrazione di Sergio, eviterei l'uso della funzione logaritmo perché, in un certo senso, l'esistenza di una funzione esponenziale utilizza il fatto che \(\displaystyle E^+ \) è denso in \(\displaystyle \mathbf{R}^+ \). Insomma mi da l'impressione che sia un po' circolare.