Insieme degli zeri di una funzione
Buongiorno, vorrei capire come si determina l'insieme degli zeri di una funzione $f(x,y)$ e come si rappresenta tale funzione nel piano cartesiano $(x,y)$; come è poi possibile determinare i punti di massimo e minimo di questa funzione?
P.S: c'è un'analogia con il teorema di Dini e lo studio della funzione implicita?
Grazie
P.S: c'è un'analogia con il teorema di Dini e lo studio della funzione implicita?
Grazie
Risposte
Enunciato del teorema del Dini:
Consideriamo una funzione $f: A \subseteq \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ con $A$ aperto e $f$ di classe $C^1$ in $A$.
Sia $(x_0,y_0) \in A | f(x_0,y_0)=0$ e $\frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial y} \ne 0$.
Allora esiste:
\[g: (x_0-\delta,x_0+\delta) \to (y_0-\epsilon,y_0+\epsilon)\] tale che:
\[1) g(x_0)=y_0\]
\[2) f(x,g(x))=0 \quad \forall \,x \in (x_0-\delta,x_0+\delta)\]
\[3) g \in C^1(x_0-\delta,x_0+\delta) \mid g'(x)=-\frac{\frac{\partial f(x,g(x))}{\partial x}}{\frac{\partial f(x,g(x))}{\partial y}}\]
La funzione implicita è appunto la $g$, della quale il teorema del Dini assicura l'esistenza.
L'insieme degli zeri di $f$ si ricava risolvendo per $(x,y)$, quando possibile, l'equazione $f(x,y)=0$.
In ogni caso nota che ovviamente il grafico di $g$ (la funzione implicita definita dalla relazione $f(x,y)=0$) è proprio, LOCALMENTE (cioè nel rettangolo $(x_0-\delta,x_0+\delta) \times (y_0-\epsilon,y_0+\epsilon)$), proprio l'insieme degli zeri di $f$.
Infine, per i punti di massimo e minimo di $f$ ti consiglio di sforzarti nel leggere un qualunque libro di testo di analisi vettoriale. è un argomento piuttosto elementare, anche se lunghetto.
Consideriamo una funzione $f: A \subseteq \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ con $A$ aperto e $f$ di classe $C^1$ in $A$.
Sia $(x_0,y_0) \in A | f(x_0,y_0)=0$ e $\frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial y} \ne 0$.
Allora esiste:
\[g: (x_0-\delta,x_0+\delta) \to (y_0-\epsilon,y_0+\epsilon)\] tale che:
\[1) g(x_0)=y_0\]
\[2) f(x,g(x))=0 \quad \forall \,x \in (x_0-\delta,x_0+\delta)\]
\[3) g \in C^1(x_0-\delta,x_0+\delta) \mid g'(x)=-\frac{\frac{\partial f(x,g(x))}{\partial x}}{\frac{\partial f(x,g(x))}{\partial y}}\]
La funzione implicita è appunto la $g$, della quale il teorema del Dini assicura l'esistenza.
L'insieme degli zeri di $f$ si ricava risolvendo per $(x,y)$, quando possibile, l'equazione $f(x,y)=0$.
In ogni caso nota che ovviamente il grafico di $g$ (la funzione implicita definita dalla relazione $f(x,y)=0$) è proprio, LOCALMENTE (cioè nel rettangolo $(x_0-\delta,x_0+\delta) \times (y_0-\epsilon,y_0+\epsilon)$), proprio l'insieme degli zeri di $f$.
Infine, per i punti di massimo e minimo di $f$ ti consiglio di sforzarti nel leggere un qualunque libro di testo di analisi vettoriale. è un argomento piuttosto elementare, anche se lunghetto.
Siccome io sto provando a preparare analisi 2 , immagino dunque che quando si parla di insieme degli zeri di una funzione ci si voglia riportare al teorema di Dini.
Non è un buon metodo per arrivare a tracciare il grafico della funzione tale per cui $f(x,y)=0$?
E nel caso i punti di $min$ e $max$ si possono ottenere dal sistema $f_x=0;f=0} come nel teorema di Dini?
Non è un buon metodo per arrivare a tracciare il grafico della funzione tale per cui $f(x,y)=0$?
E nel caso i punti di $min$ e $max$ si possono ottenere dal sistema $f_x=0;f=0} come nel teorema di Dini?
Infine, perdonami, dunque per disegnarne il grafico bisogna passare comunque da Dini oppure vi è un metodo diverso di ragionamento?
Non è necessario passare dal teorema del Dini per ricavare l'insieme degli zeri di una funzione.
Come ho detto, basta risolvere l'equazione $f(x,y)=0$.
Il teorema del Dini ti garantisce solo che localmente la condizione $f(x,y)=0$ ti definisce un funzione implicita, ma non ti dice ad esempio come tale funzione sia fatta.
Intendi il grafico di $f$ o l'insieme degli zeri di $f$? Nel caso del grafico non serve assolutamente Dini, ma non credo ti si chiederà di disegnarlo, di solito questo lo fa un computer.
Che vuol dire? I punti di massimo e minimo di $f$? O della funzione implicita?
Se intendi i punti di massimo e minimo di $f$ assolutamente no, non ha senso quello che hai scritto.
La condizione $f=0, f_x=0$ da dove l'hai tirata fuori? Non è ne un'ipotesi del teorema del Dini, ne tanto meno si usa per ricavare i punti di massimo e minimo di una funzione di due variabili.
Come ho detto, basta risolvere l'equazione $f(x,y)=0$.
Il teorema del Dini ti garantisce solo che localmente la condizione $f(x,y)=0$ ti definisce un funzione implicita, ma non ti dice ad esempio come tale funzione sia fatta.
"Aletzunny":
Infine, perdonami, dunque per disegnarne il grafico bisogna passare comunque da Dini oppure vi è un metodo diverso di ragionamento?
Intendi il grafico di $f$ o l'insieme degli zeri di $f$? Nel caso del grafico non serve assolutamente Dini, ma non credo ti si chiederà di disegnarlo, di solito questo lo fa un computer.
"Aletzunny":
E nel caso i punti di $ min $ e $ max $ si possono ottenere dal sistema $f_x=0;f=0} come nel teorema di Dini?
Che vuol dire? I punti di massimo e minimo di $f$? O della funzione implicita?
Se intendi i punti di massimo e minimo di $f$ assolutamente no, non ha senso quello che hai scritto.
La condizione $f=0, f_x=0$ da dove l'hai tirata fuori? Non è ne un'ipotesi del teorema del Dini, ne tanto meno si usa per ricavare i punti di massimo e minimo di una funzione di due variabili.
Non ho ben capito come posso ragionare per ottenere il grafico dell'insieme degli zeri di una funzione $f(x,y)=0$ e disegnarne il conseguente grafico a penna su un foglio come di solito è richiesto all'esame.
Ad esempio data $f(x,y)=x^3y-e^xy+6xy^4$ come dovrei ragionare per ottenere il grafico dell'insieme degli zeri di $f$?
Posso sfruttare il teorema di Dini?Oppure vi è un ragionamento diverso (che cercando online non ho trovato fatto bene) completamente differente?
Il sistema è quello che si usa solitamente per determinare i $max$ e $min$ della funzione implicita però penso valga nel caso si sfrutti solo il teorema di Dini...
P.S.: in parole povere spesso viene richiesto di disegnare il grafico approssimativo degli insiemi deglj zeri di $f$ simili a quelle che ho scritto sopra e non ho minimamente capito come lavorare...di base a lezione abbiamo sempre visto il teorema di Dini per la funzione implicita e non riesco a capirne il collegamento.
Grazie
Ad esempio data $f(x,y)=x^3y-e^xy+6xy^4$ come dovrei ragionare per ottenere il grafico dell'insieme degli zeri di $f$?
Posso sfruttare il teorema di Dini?Oppure vi è un ragionamento diverso (che cercando online non ho trovato fatto bene) completamente differente?
Il sistema è quello che si usa solitamente per determinare i $max$ e $min$ della funzione implicita però penso valga nel caso si sfrutti solo il teorema di Dini...
P.S.: in parole povere spesso viene richiesto di disegnare il grafico approssimativo degli insiemi deglj zeri di $f$ simili a quelle che ho scritto sopra e non ho minimamente capito come lavorare...di base a lezione abbiamo sempre visto il teorema di Dini per la funzione implicita e non riesco a capirne il collegamento.
Grazie
Allora, hai $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} | f(x,y)=x^3y-e^xy+6xy^4$.
Chiaramente non puoi ricavarti agevolmente tutti i punti $(x,y)$ del piano tali che $f(x,y)=0$ semplicemente risolvendo tale equazione rispetto a $x$ e $y$.
Con ogni probabilità ti viene richiesto invece di applicare il Teorema del Dini (dopo averne verificato le ipotesi) in un punto $(x_0,y_0)$ dove la funzione si annulla (ad esempio in questo caso potrebbe essere $(x_0,y_0)=(0,0)$).
Prova a verificare se tutte le ipotesi del Dini sono soddisfatte in $(0,0)$.
Se questo accade, allora otterrai che esiste una funzione implicita $g$ il cui grafico LOCALMENTE, ripeto, LOCALMENTE, rappresenta proprio l'insieme degli zeri di $f$. La $g$ non la conosci direttamente, non ne hai cioè l'espressione esplicita, ma puoi studiarne comunque qualitativamente il grafico studiandone ad esempio, come dici tu, i massimi e i minimi, ma più in generale direi la monotonia e magari anche la concavità ($g$ è una funzione reale di variabile reale, e conosci l'espressione della sua derivata, quindi puoi fare uno studio di funzione come quelli che sicuramente avrai fatto in analisi 1, e tracciarne quindi il grafico qualitativo, che rappresenterà localmente l'insieme degli zeri della $f$ di partenza).
Chiaramente non puoi ricavarti agevolmente tutti i punti $(x,y)$ del piano tali che $f(x,y)=0$ semplicemente risolvendo tale equazione rispetto a $x$ e $y$.
Con ogni probabilità ti viene richiesto invece di applicare il Teorema del Dini (dopo averne verificato le ipotesi) in un punto $(x_0,y_0)$ dove la funzione si annulla (ad esempio in questo caso potrebbe essere $(x_0,y_0)=(0,0)$).
Prova a verificare se tutte le ipotesi del Dini sono soddisfatte in $(0,0)$.
Se questo accade, allora otterrai che esiste una funzione implicita $g$ il cui grafico LOCALMENTE, ripeto, LOCALMENTE, rappresenta proprio l'insieme degli zeri di $f$. La $g$ non la conosci direttamente, non ne hai cioè l'espressione esplicita, ma puoi studiarne comunque qualitativamente il grafico studiandone ad esempio, come dici tu, i massimi e i minimi, ma più in generale direi la monotonia e magari anche la concavità ($g$ è una funzione reale di variabile reale, e conosci l'espressione della sua derivata, quindi puoi fare uno studio di funzione come quelli che sicuramente avrai fatto in analisi 1, e tracciarne quindi il grafico qualitativo, che rappresenterà localmente l'insieme degli zeri della $f$ di partenza).
Grazie mille, adesso inizio ad esserci... quindi dipende molto dai casi...
Per esempio per $f(x,y)=xy^2-x^2y-ln(x)$ l'insieme dei suoi zeri può essere trovato notando che $f(x,y)=0$ è un'equazione di secondo grado in $y$ e dunque si ottiene $y(x)=x/2*(1+-sqrt(1+(4lnx)/x^3))$
Quindi l'insieme degli zeri della funzione $f$ lo trovo studiando, come ad analisi 1, il grafico di $y(x)$ e rappresentandolo nel piano cartesiano... ho capito correttamente?
Per esempio per $f(x,y)=xy^2-x^2y-ln(x)$ l'insieme dei suoi zeri può essere trovato notando che $f(x,y)=0$ è un'equazione di secondo grado in $y$ e dunque si ottiene $y(x)=x/2*(1+-sqrt(1+(4lnx)/x^3))$
Quindi l'insieme degli zeri della funzione $f$ lo trovo studiando, come ad analisi 1, il grafico di $y(x)$ e rappresentandolo nel piano cartesiano... ho capito correttamente?
E sapendo per ipotesi che $y(x): [1,+infty)->(-infty,0]$ il mio studio si riduce a dover rappresentare nel piano $(x,y)$ la funzione $y(x)=x/2*(1-sqrt(1+(4lnx)/x^3))$
Corretto?
Corretto?
Si in questo caso, però ripeto, spessissimo non è possibile partire dall'equazione $f(x,y)=0$ e ricavarsi una funzione $y(x)$ il cui grafico sia GLOBALMENTE l'insieme degli zeri di $f$.
Si cerca piuttosto un punto $(x_0,y_0)$ in cui $f(x_0,y_0)=0$ e si applica se possibile Dini, ricavandosi LOCALMENTE l'insieme degli zeri di $f$ dallo studio della funzione implicita definita appunto LOCALMENTE.
Prova ad esempio a scrivere $y$ in funzione di $x$ a partire dall'equazione $f(x,y)=x^5y^2+\ln(x+1)y^3-8x^4e^y-12x\sin y=0$. Non puoi, però puoi notare che $f(0,0)=0$ e puoi quindi provare ad applicare Dini.
La morale è: spesso ci si deve accontentare.
Si cerca piuttosto un punto $(x_0,y_0)$ in cui $f(x_0,y_0)=0$ e si applica se possibile Dini, ricavandosi LOCALMENTE l'insieme degli zeri di $f$ dallo studio della funzione implicita definita appunto LOCALMENTE.
Prova ad esempio a scrivere $y$ in funzione di $x$ a partire dall'equazione $f(x,y)=x^5y^2+\ln(x+1)y^3-8x^4e^y-12x\sin y=0$. Non puoi, però puoi notare che $f(0,0)=0$ e puoi quindi provare ad applicare Dini.
La morale è: spesso ci si deve accontentare.
Fra l'altro $y(x)=\frac{x}{2}(1 \pm \sqrt{1+\frac{4lnx}{x^3}})$ non è una funzione qui.
Localmente però si che lo è, e infatti tu ti sei ristretto alla funzione $y(x)=\frac{x}{2}(1-\sqrt{1+\frac{4lnx}{x^3}})$.
$f(x,y)=0$ in generale non definisce globalmente una funzione $y(x)$, il cui grafico sia TUTTO l'insieme degli zeri di $f$.
Localmente però si che lo è, e infatti tu ti sei ristretto alla funzione $y(x)=\frac{x}{2}(1-\sqrt{1+\frac{4lnx}{x^3}})$.
$f(x,y)=0$ in generale non definisce globalmente una funzione $y(x)$, il cui grafico sia TUTTO l'insieme degli zeri di $f$.
Grazie! Finalmente ci sono! Non mi era chiara quella connessione tra insieme degli zeri e funzione implicita! Ora almeno è tutto più chiaro e ho compreso perché spesso da $f(x,y)=0$ ci si riduce poi ad applicare Dini
Di nulla 
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