Insieme convergenza serie
salve, come da titolo avrei da calcolare l'insieme di convergenza della serie di potenze seguente:
$\sum_{n=0}^\infty (2n/(n^2+3))*(x^2-5)^n $
io so che se esiste il seguente il $\lim_{n \to \infty}|(a_n)/(a_(n+1))|$ allora tale limite è il raggio di convergenza R, corregetemi se sbaglio, quindi se come credo tale limite dovrebbe corrispondere a $+\infty$, e sapendo che la serie converge assolutamente per $|x^2-5|
grazie per le risposte e le eventuali (e probabili) correzioni.....
$\sum_{n=0}^\infty (2n/(n^2+3))*(x^2-5)^n $
io so che se esiste il seguente il $\lim_{n \to \infty}|(a_n)/(a_(n+1))|$ allora tale limite è il raggio di convergenza R, corregetemi se sbaglio, quindi se come credo tale limite dovrebbe corrispondere a $+\infty$, e sapendo che la serie converge assolutamente per $|x^2-5|
Risposte
"9600xt":
$\sum_{n=0}^\infty (2n/(n^2+3))*(x^2-5)^n $
Prova intanto a porre $z = x^2 - 5$
perchè scusa?? non ho capito a cosa potrebbe servirmi.... non è che potresti essere un poco più chiaro?!?! ho davvero poca dimestichezza con questo argomento....
"9600xt":
perchè scusa?? non ho capito a cosa potrebbe servirmi.... non è che potresti essere un poco più chiaro?!?! ho davvero poca dimestichezza con questo argomento....
Guarda che il "pezzo" più importante è $(x^2 - 5)^n$ ...
si ok, ma non ho bisogno del raggio di convergenza?? senza di quello come faccio?? mi sa che ho le idee un po confuse.. non è che potresti spiegarmi poco alla volta passo passo un po tutto per piacere...
Sisi, ti serve il raggio di convergenza, che calcoli col criterio del rapporto o della radice (e che non mi pare sia $+oo$... Ricontrolla!).
La sostituzione $z=x^2-5$ ti serve solamente se vuoi semplificare un po' la scrittura, per esempio per essere sicuro di quali siano i coefficienti della serie... A volte torna utile, a volte no.
La sostituzione $z=x^2-5$ ti serve solamente se vuoi semplificare un po' la scrittura, per esempio per essere sicuro di quali siano i coefficienti della serie... A volte torna utile, a volte no.

hai ragione, era sbagliato, ma perchè lo calcolavo nel modo errato.... quindi se uso il criterio della radice, se non sbaglio dovrebbe uscir fuori un raggio di convergenza $R=1$, spero di non sbagliare ancora, in entrambi i casi potreste poi aiutarmi facendomi vedere i passaggi corretti per arrivare al risultato corretto? non voglio solo quello, però da solo temo di non arrivarci mai, se vedessi il tutto potrei poi farvi domande su ciò che non avrò eventualmente ancora capito....
$R=1$ ok, hai calcolato bene.
Ad esempio col criterio del rapporto trovi:
$|a_(n+1)/a_n|=(2(n+1)/((n+1)^2+3))/(2n/(n^2+3))=(n+1)/n*(n^2+3)/((n+1)^2+3) \to 1 \quad$.
Ora la serie converge certamente nell'insieme individuato dalla disuguaglianza $|x^2-5|<1$, ossia $-1
I punti "problematici" sono quelli di frontiera, ossia quei valori di $x$ per cui risulta $|x^2-5|=1$, cioè $x^2-5=-1$ oppure $x^2-5=1$.
Però, se è $x^2-5=1$, la tua serie diventa $\sum 2n/(n^2+3)$: secondo te questa converge, diverge o che fa?
D'altra parte, se è $x^2-5=-1$, la tua serie diviene $\sum (-1)^n 2n/(n^2+3)$, che è a segni alterni (e presumibilmente va studiata con Leibniz): di nuovo, secondo te questa serie come si comporta?
Ad esempio col criterio del rapporto trovi:
$|a_(n+1)/a_n|=(2(n+1)/((n+1)^2+3))/(2n/(n^2+3))=(n+1)/n*(n^2+3)/((n+1)^2+3) \to 1 \quad$.
Ora la serie converge certamente nell'insieme individuato dalla disuguaglianza $|x^2-5|<1$, ossia $-1
I punti "problematici" sono quelli di frontiera, ossia quei valori di $x$ per cui risulta $|x^2-5|=1$, cioè $x^2-5=-1$ oppure $x^2-5=1$.
Però, se è $x^2-5=1$, la tua serie diventa $\sum 2n/(n^2+3)$: secondo te questa converge, diverge o che fa?
D'altra parte, se è $x^2-5=-1$, la tua serie diviene $\sum (-1)^n 2n/(n^2+3)$, che è a segni alterni (e presumibilmente va studiata con Leibniz): di nuovo, secondo te questa serie come si comporta?
allora vediamo... esplicitando la prima parte dovrebbe venir fuori questo: $2
"9600xt":
allora vediamo... esplicitando la prima parte dovrebbe venir fuori questo: $2
E degli $x in [-sqrt(6),-2]$ che ne facciamo?
Li mettiamo nel congelatore, così almeno loro stanno freschi?
"9600xt":
poi alla seconda domanda rispondo che secondo me diverge (il limite di $a_n$ è diverso da $0$)
Infatti è arcinoto che $lim_(n\to +oo) 2n/(n^2+3)$ è diverso da zero...
Fai bene i conti.
"9600xt":
mentre nel terzo caso non saprei dire, perchè da quello che so anche se (come mi pare in questo caso) la serie non soddisfi le ipotesi del criterio di Leibniz potrebbe convergere ugualmente, ma non so come dirlo.....
Fammi indovinare: non soddisfa le ipotesi perchè non è infinitesima, vero?
Il problema è quello di prima: fai bene i conti.
Lo so che fa caldo e che studiare stanca, però ti stai perdendo sull'ABC di Analisi I... Su, su, anima e coraggio.![]()
ne avessi azzeccata mezza oh.... per oggi mi sa che basta, spegnamo il cervello e riposo, non so come ho fatto a dire quelle cose... hai ragione, ok fila tutto adesso....
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comunque grazie mille.....

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comunque grazie mille.....
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