Insieme connesso

[IgnoranteDaSchifo]

Dal Marcellini Sbordone:
"Un insieme aperto $ AsubeR^2 $è connesso se non esistono due aperti disgiunti non vuoti di $R^2$ la cui unione sia l'insieme $A$ ."
Ora il mio dubbio è: ma ha senso parlare di insiemi connessi anche quando l'insieme non è aperto?
Ad esempio dire che il dominio di $f(x,y)= sqrt(y^2+x)log(x-y)$ è un insieme illimitato né chiuso né aperto connesso.
O ancora che il dominio di $f(x,y)=arcsen(x-y)$ è un insieme illimitato chiuso e connesso?
Grazie a tutti.

[gugo82]

Sì, ha senso.
La definizione però va modificata coma segue:

Un insieme \(S\subseteq \mathbb{R}^N\) è detto connesso se e solo se non esistono due aperti \(A_1,A_2\neq \varnothing\) di \(\mathbb{R}^N\) tali che:
\[
(A_1\cap S) \cap (A_2\cap S) =\varnothing \qquad \text{e}\qquad (A_1\cap S) \cup (A_2\cap S) =S\; .
\]

Ad esempio, un insieme del tipo:
[asvg]xmin=-4; xmax=4; ymin=-4; ymax=4;
axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2; fill="yellow";circle([-2,0],1);path([[1,0],[2,1],[3,0],[2,-1],[1,0]]);
line([-1,0],[1,0]);[/asvg]
è connesso, pur non essendo aperto.

Tuttavia, la definizione di connessione è abbastanza "brutta" per chi è alle prime armi.
Per semplificarti la vita, tieni presente che un insieme qualsiasi \(S\) che puoi immaginare (quindi in \(\mathbb{R}^2\) o \(\mathbb{R}^3\)) è connesso se e solo se è fatto di un unico pezzo.

[IgnoranteDaSchifo]

Come sempre grazie Gugo

[theras]

Oppure,se ti risulta più intuitivo,ragiona in logica negata e pensa che un percorso automobilistico è generalmente considerato sconnesso se sono individuabili,tra i tratti nel quale esso è decomponibile,
almeno due "avvalamenti" disgiunti che ne rendono scomoda la percorrenza:
saluti dal web.