Insieme con misura di Lebesgue nulla
Salve a tutti ! Ho il seguente esercizio che non riesco a dimostrare :
" Sia $ A\subset R $ l'insieme $ A ={a \in R | \exists P(x)=\sum_{j=0}^n c_j*x^j , c_j \in N : P(a)=0} $,si faccia vedere che $ A $ ha misura di Lebesgue nulla . ( Si osservi che l'insieme dei polinomi con coefficienti in N è numerabile) ".
Grazie !
" Sia $ A\subset R $ l'insieme $ A ={a \in R | \exists P(x)=\sum_{j=0}^n c_j*x^j , c_j \in N : P(a)=0} $,si faccia vedere che $ A $ ha misura di Lebesgue nulla . ( Si osservi che l'insieme dei polinomi con coefficienti in N è numerabile) ".
Grazie !
Risposte
Puoi partire dal fatto che, per ogni $N\in\NN$, l'insieme $A_N$ degli zeri dei polinomi di grado $n \le N$ con coefficienti $(c_0, c_1, \ldots, c_n)$ t.c. $|c_i| \le N$ per ogni $i$ è finito.
Non riesco ad andare avanti con il tuo suggerimento 
, mi viene solo il mente che l'insieme dei polinomi con coefficienti in $ N $ ( è il suggerimento che ho scritto io !) è numerabile e perciò ha misura nulla !
, mi viene solo il mente che l'insieme dei polinomi con coefficienti in $ N $ ( è il suggerimento che ho scritto io !) è numerabile e perciò ha misura nulla !
Poiché $A = \cup_{N\in\NN} A_N$ e ciascun $A_N$ è finito, avrai che $A$ è al più numerabile.
e quindi posso concludere che ha misura nulla ???
(ma hai studiato qualcosa sulla misura di Lebesgue prima di cominciare a fare esercizi?)
Comunque, anche questo è un esercizio utile: dimostrare che ogni insieme numerabile $A\subset \RR$ ha misura di Lebesgue nulla.
Comunque, anche questo è un esercizio utile: dimostrare che ogni insieme numerabile $A\subset \RR$ ha misura di Lebesgue nulla.
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