Insieme compatto in esercizio su max/min
Ciao a tutti! Un piccolo dubbio mentre svolgevo questo esercizio...
"Consideriamo la funzione $f(x,y,z)=x-2y+z$ e l'insieme $A={(x,y,z)in RR^3 : x^2+z^2 <=y<=1}$. Determinare sup/inf di f in A precisando se si tratta di max/min"
Il dubbio riguardo l'insieme. Si vede che A è un chiuso; il mio problema è nel dimostrare che A è limitato (cosi poi dovrebbe essere in discesa per Weierstrass, dato che A risulterebbe compatto).
Vorrei sapere se basta l' "occhio" e/o una deduzione geometrica per concludere sulla limitatezza di A. Grazie
"Consideriamo la funzione $f(x,y,z)=x-2y+z$ e l'insieme $A={(x,y,z)in RR^3 : x^2+z^2 <=y<=1}$. Determinare sup/inf di f in A precisando se si tratta di max/min"
Il dubbio riguardo l'insieme. Si vede che A è un chiuso; il mio problema è nel dimostrare che A è limitato (cosi poi dovrebbe essere in discesa per Weierstrass, dato che A risulterebbe compatto).
Vorrei sapere se basta l' "occhio" e/o una deduzione geometrica per concludere sulla limitatezza di A. Grazie
Risposte
In effetti basta l'occhio, come dici tu. Dal fatto che \(x^2+z^2\le 1\) deduci che sia \(|x|\) sia \(|z|\) non possono essere più grandi di \(1\). Inoltre, \(0\le x^2+y^2\), quindi \(0\le y\le 1\). Conclusione:
\[
A\subset [-1, 1]\times [0, 1]\times[-1,1], \]
quindi \(A\) è limitato.
\[
A\subset [-1, 1]\times [0, 1]\times[-1,1], \]
quindi \(A\) è limitato.
Grazie!! Come perdersi in un bicchier d'acqua xD
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