Insieme chiuso e limitato ma non compatto
Consideriamo la metrica $d(x,y)=(||x-y||)/(1+||x-y||)$ definita su $RR^n$, con $||\cdot||$ la norma euclidea. Ho già verificato che definisce una distanza (la parte più difficile, ma anche divertente, è stata verificare la disuguaglianza triangolare). Adesso vorrei trovare un insieme $E subseteq RR^n$ chiuso e limitato, ma non compatto rispetto a tale metrica. Così, "a naso", pensavo di prendere direttamente $RR^n$, ovviamente è chiuso, ed è anche limitato perché si può riscrivere $d(x,y)=1-1/(1+||x-y||)$, quindi $d(x,y)<=1$ sempre. E' vero però che $RR^n$ non è compatto rispetto a tale metrica? Per verificarlo, preferirei usare la definizione di insieme compatto per successioni anziché il teorema di caratterizzazione che afferma che "un insieme è compatto se e solo se è completo e totalmente limitato" (che nel corso di Analisi Funzionale non mi è stato spiegato, ma che ho scoperto cercando in rete), ma la vedo dura... Potete darmi un suggerimento?
Risposte
Dalla successione $x_k = k e_1$ mi sembra non si possa estrarre nessuna sottosuccessione convergente.
Ti ringrazio per la risposta...
Però aspetta... Se indico con [tex]||x||_d := d(x,0)[/tex] la norma "indotta da quella metrica" (di solito è il contrario, ma qui siamo su uno spazio vettoriale...), ho che $||x_k||_d = 1-1/(1+k) <= 1$, per ogni $k \in NN$, quindi $x_k$ è limitata ed in quanto tale dovrebbe ammettere una sottosuccesione convergente. Anzi, tutte le successioni a valori in $RR^n$ sono limitate rispetto a questa metrica (proprio perché perfino tutto $RR^n$ è limitato) e quindi ammettono una sottosucc. convergente... Dico qualcosa di sbagliato?
E si, purtroppo è sbagliato. Il fatto che le successioni limitate hanno estratte convergenti è un tratto caratteristico della metrica standard di $RR^n$ e non vale in tutti gli spazi metrici. Se stai studiando Analisi funzionale di esempi ne vedrai presto a iosa.
Infatti qualche sospetto ce l'avevo ma volevo essere sicuro... Nello specifico, credevo che il teorema delle limitate con estratte convergenti fosse valido in tutti gli spazi metrici di dimensione FINITA (mi riferisco a spazi vettoriali naturalmente, dato che parlare di dimensione in generale non ha senso). E se mi sbagliavo, meglio così, vuol dire che il controesempio ci può stare.
Un altro controesempio dall'analisi è in [tex]$(\mathscr{l}^2;||\cdot||_2)$[/tex] con la palla chiusa unitaria [tex]$\overline B(\underline0;1)=\{\underline a\in\mathscr{l}^2:||\underline a||_2\leq1\}$[/tex] considerando la successione [tex]$\{\underline e_n\in\overline B(\underline0;1)\mid \underline e_n=(0;\dots;0;1_n;0;\dots)\}_{n\in\mathbb{N}}$[/tex]; ovvero, la successione di vettori con componenti nulle tranne la [tex]$n$[/tex]-sima, la quale sia [tex]$1$[/tex] per comodità.
L'esempio di Armando mi ha fatto cadere l'occhio su un punto significativo.
$d(x, y)=frac{|x-y|}{1+|x-y|}$
(per inciso ce ne sono anche tante altre, come questa
$d_2(x, y)="min"( 1, |x-y|)$
o questa
$d_3(x, y)=| arctan (x) - arctan(y) |$.)
Allora ogni successione è limitata rispetto a $d$. Pure $x_n=n$ è limitata. Ma supponiamo che essa ammetta una estratta convergente, diciamo $x_{k(n)} \to l$ per $n \to infty$. Questo non può essere. Infatti, a partire da un certo indice $k(N)$ in poi, deve aversi
$x_{k(n)}>l+1, \quad forall k(n) > k(N)$
cosicché $|x_{k(n)}-l|>1$. Ora, siccome la funzione $f(delta)=delta/(1+delta),\ delta >=0$ è strettamente crescente, la disuguaglianza precedente implica che
$d(x_{k(n)}, l) > 1/2, \quad forallk(n) > k(N)$
escludendo così che possa aversi $d(x_{k(n)}, l) to 0$. Perciò non è vero che $x_n$ ha una estratta convergente. Eppure $RR$ è uno spazio vettoriale di dimensione finita... Come si spiega?
Si spiega osservando che questa distanza $d$ non proviene da una norma. Questo è chiaro: se esistesse una norma $||*||$ tale che $d(x, y)=||x-y||$, di certo lo spazio totale non sarebbe limitato. (Uno spazio normato non è MAI limitato. Perché?).
Quindi il teorema a cui fai riferimento è vero, a patto di essere un tantino più precisi: in uno spazio normato (e non solo metrico) di dimensione finita, ogni successione limitata ha almeno una estratta convergente.
"fireball":Detto così è falso. Esempio (già fatto): muniamo $RR$ di una metrica limitata, come per esempio
Nello specifico, credevo che il teorema delle limitate con estratte convergenti fosse valido in tutti gli spazi metrici di dimensione FINITA
$d(x, y)=frac{|x-y|}{1+|x-y|}$
(per inciso ce ne sono anche tante altre, come questa
$d_2(x, y)="min"( 1, |x-y|)$
o questa
$d_3(x, y)=| arctan (x) - arctan(y) |$.)
Allora ogni successione è limitata rispetto a $d$. Pure $x_n=n$ è limitata. Ma supponiamo che essa ammetta una estratta convergente, diciamo $x_{k(n)} \to l$ per $n \to infty$. Questo non può essere. Infatti, a partire da un certo indice $k(N)$ in poi, deve aversi
$x_{k(n)}>l+1, \quad forall k(n) > k(N)$
cosicché $|x_{k(n)}-l|>1$. Ora, siccome la funzione $f(delta)=delta/(1+delta),\ delta >=0$ è strettamente crescente, la disuguaglianza precedente implica che
$d(x_{k(n)}, l) > 1/2, \quad forallk(n) > k(N)$
escludendo così che possa aversi $d(x_{k(n)}, l) to 0$. Perciò non è vero che $x_n$ ha una estratta convergente. Eppure $RR$ è uno spazio vettoriale di dimensione finita... Come si spiega?
Si spiega osservando che questa distanza $d$ non proviene da una norma. Questo è chiaro: se esistesse una norma $||*||$ tale che $d(x, y)=||x-y||$, di certo lo spazio totale non sarebbe limitato. (Uno spazio normato non è MAI limitato. Perché?).
Quindi il teorema a cui fai riferimento è vero, a patto di essere un tantino più precisi: in uno spazio normato (e non solo metrico) di dimensione finita, ogni successione limitata ha almeno una estratta convergente.
Aggiungo solo, a quanto già detto da dissonance, che per parlare di "dimensione finita" è necessaria una struttura vettoriale; da qui la necessità di avere uno spazio normato.
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