Insieme aperto con bordo e teorema della divergenza

[mastro871]

Il mio prof ha scritto tra le ipotesi del teorema della divergenza, che l'insieme che ha come bordo la superficie su cui calcoliamo il flusso deve essere un aperto con bordo.
Questa è la sua definizione di aperto con bordo :" Sia D $sube$ $R^3$ un aperto limitato connesso per archi.
Diciamo che D `e un aperto con bordo se il bordo si D è unione di un numero finito di
sostegni di calotte semplici e regolari, orientate secondo il verso uscente da D e
aventi a due a due in comune al più sostegni di curve regolari a tratti."
Praticamente come faccio a capire se posso o non posso applicare il teorema della divergenza ?
Per esempio $S={(x,y,z) in R^3 : x = y^2 + z^2 ; 0 <= x <= 1; z >= 0}$ in questo caso posso o non posso ?
Grazie in anticipo per la disponibilità

[dissonance]

Per applicare il teorema della divergenza devi poter assegnare ad ogni punto del bordo un versore normale. E questo penso sia pacifico: il versore normale ti serve per definire il flusso. Però può capitare che in certi punti il versore normale non ci sia: per esempio, in un cono, non puoi dire qual è il versore normale alla superficie proprio nella cima, perché è un punto singolare. In un parallelepipedo, non puoi dire qual è il versore normale in corrispondenza degli spigoli, perché sono linee di singolarità.

Il tuo professore sta dicendo che, però, in questi casi non fa niente: se le singolarità sono solo dei puntini, oppure delle curve regolari a tratti, il teorema si applica lo stesso. In tutte le figure geometriche disegnabili, infatti, il teorema si applica, inclusa la tua superficie \(S\). Bisogna fare attenzione solo agli aperti più brutti, indisegnabili, che purtroppo esistono e anzi i matematici si sono divertiti (e si divertono) a costruirne di nuovi.