Input per integrali
ho bisogno di un input per fare sti integrali non li riesco a fare....
$int cosx/(sinx+2sqrt(sinx) )dx $ pongo $sinx=t$ ????
l'altro
$-int cotx/(sinx+1)dx $ riscrivo $cot=cosx/(senx)$??
e
e per ultimo $int sqrt(x^2+1)/x dx $ qui ho provato per parti ma non porta a nulla...
con i metodi che ho scritto io sono andato avanti ma dopo un pò non porta a niente ... sbalgio metodo!?
$int cosx/(sinx+2sqrt(sinx) )dx $ pongo $sinx=t$ ????
l'altro
$-int cotx/(sinx+1)dx $ riscrivo $cot=cosx/(senx)$??
e
e per ultimo $int sqrt(x^2+1)/x dx $ qui ho provato per parti ma non porta a nulla...
con i metodi che ho scritto io sono andato avanti ma dopo un pò non porta a niente ... sbalgio metodo!?
Risposte
Nel primo è corretto porre $t:= sin(x)$
Hai $dt = cos (x) dx$, dunque l'integrale diventa $int (dt)/(t+2sqrt(t)) = int (dt)/(sqrt(t) *(sqrt(t)+2))$
Altra sostituzione: $u= sqrt(t)$. Si ha $du= (dt)/(2sqrt(t))=> 2 du = (dt)/(sqrt(t))$,
quindi l'integrale diventa ...
Hai $dt = cos (x) dx$, dunque l'integrale diventa $int (dt)/(t+2sqrt(t)) = int (dt)/(sqrt(t) *(sqrt(t)+2))$
Altra sostituzione: $u= sqrt(t)$. Si ha $du= (dt)/(2sqrt(t))=> 2 du = (dt)/(sqrt(t))$,
quindi l'integrale diventa ...
nel terzo semplicemente x= tan t e risolvi subito
nel secondo sen x = t e poi è facile
nel secondo sen x = t e poi è facile
questo è il secondo:
$ -intcotx/(sinx+1) dx =int-cosx/(sinx(sinx+1)) dx=-int1/(sinx(sinx+1))dsinx $
quindi procedi per fratti semplici ed è fatta
$ -intcotx/(sinx+1) dx =int-cosx/(sinx(sinx+1)) dx=-int1/(sinx(sinx+1))dsinx $
quindi procedi per fratti semplici ed è fatta
questo invece è il terzo:
$ intsqrt(x^2+1)/x dx =intcosy/(cos^3yseny) dy $
con
$ x= tany$ e quindi $ dx=1/cos^2ydy $
$ int1/(cos^2yseny) dy=int(cos^2y+sen^2y)/(cos^2yseny) dy=int1/(seny) dy+int(seny)/(cos^2y) dy$
$ int(seny)/(sen^2y) dy-int(1)/(cos^2y) dcosy=-int(dcosy)/(1-cos^2y)-int(dcosy)/(cos^2y)$
...da qui ce la fai a proseguire?
$ intsqrt(x^2+1)/x dx =intcosy/(cos^3yseny) dy $
con
$ x= tany$ e quindi $ dx=1/cos^2ydy $
$ int1/(cos^2yseny) dy=int(cos^2y+sen^2y)/(cos^2yseny) dy=int1/(seny) dy+int(seny)/(cos^2y) dy$
$ int(seny)/(sen^2y) dy-int(1)/(cos^2y) dcosy=-int(dcosy)/(1-cos^2y)-int(dcosy)/(cos^2y)$
...da qui ce la fai a proseguire?
ok il primo mi viene questo..
$int 1/(u+2)2du $ =====$2log|x+2|$
fatto bene!?!?
***********************************************
il secondo ho fatto....
$-int cosx/(senx)*1/(senx+1) dx $ ===== $-int cosx/(sen^2x+senx) dx $ pongo $senx=t $ e $dx cosx=dt$
ed ho
$-int dt/(t^2+t ) $ non serve a niente fare cosi!?
*****************************************+
il terzo non capisco la sostituzione cioè perchè esce quello dopo la sostituzione...
$int 1/(u+2)2du $ =====$2log|x+2|$
fatto bene!?!?
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il secondo ho fatto....
$-int cosx/(senx)*1/(senx+1) dx $ ===== $-int cosx/(sen^2x+senx) dx $ pongo $senx=t $ e $dx cosx=dt$
ed ho
$-int dt/(t^2+t ) $ non serve a niente fare cosi!?
*****************************************+
il terzo non capisco la sostituzione cioè perchè esce quello dopo la sostituzione...
"guardiax":
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il secondo ho fatto....
$-int cosx/(senx)*1/(senx+1) dx $ ===== $-int cosx/(sen^2x+senx) dx $ pongo $senx=t $ e $dx cosx=dt$
ed ho
$-int dt/(t^2+t ) $ non serve a niente fare cosi!?
il secondo è giusto...esattamente come ti ho detto...ora scomponi per fratti semplici
$ A/t+B/(t+1 $
"guardiax":No, io direi piuttosto $int 1/(u+2)2du= 2 log |u+2|+c$
ok il primo mi viene questo..
$int 1/(u+2)2du $ =====$2log|x+2|$
fatto bene!?!?
Cioè ci vuole la $u$, non la $x$. Ora, per completare, fai le sostituzioni all'indietro
$2log|u+2|+c= 2log|sqrt(t)+2|+c=...$
"guardiax":
il terzo non capisco la sostituzione cioè perchè esce quello dopo la sostituzione...
ora la vediamo...
$ intsqrt(x^2+1)/x dx $
poniamo $ x= tany$
$ sqrt(x^2+1)=sqrt(tan^2y+1)=sqrt(d/dytany)=sqrt(1/cos^2y)=1/cosy$
$ dx=1/cos^2ydy$
ora sostituisci tutto nell'integrale iniziale e, se non ho fatto banali errori, dato che sto anche lavorando nel frattempo, dovresti trovarti
ora vediamo anche di capire PERCHE' sostituiamo x= tany quando abbiamo un'espressione del tipo $ sqrt(x^2+1 $
prendiamo un triangolo rettangolo di cateti 1 e x. L'ipotenusa sara evidentemente $ sqrt(x^2+1 $ e, per uno dei teoremi trigonometrici sui triangoli rettangoli, sappiamo che un cateto è uguale all'altro cateto per la tangente dell'angolo opposto al primo....di conseguenza, esprimendo in termini formali quanto appena enunciato sarà:
$ x=1tantheta $
...da cui l'evidente sostituzione
è sufficientemente chiaro?
prendiamo un triangolo rettangolo di cateti 1 e x. L'ipotenusa sara evidentemente $ sqrt(x^2+1 $ e, per uno dei teoremi trigonometrici sui triangoli rettangoli, sappiamo che un cateto è uguale all'altro cateto per la tangente dell'angolo opposto al primo....di conseguenza, esprimendo in termini formali quanto appena enunciato sarà:
$ x=1tantheta $
...da cui l'evidente sostituzione
è sufficientemente chiaro?
"Gi8":No, io direi piuttosto $int 1/(u+2)2du= 2 log |u+2|+c$
[quote="guardiax"]ok il primo mi viene questo..
$int 1/(u+2)2du $ =====$2log|x+2|$
fatto bene!?!?
Cioè ci vuole la $u$, non la $x$. Ora, per completare, fai le sostituzioni all'indietro
$2log|u+2|+c= 2log|sqrt(t)+2|+c=...$[/quote]
si infatti scusa ho fatto un errore di scrittura alla fine mi esce
$2log|u+2|=...=2log|sqrt(sen^2x)+2|$ fatto bene!?
"tommik":
[quote="guardiax"]
***********************************************
il secondo ho fatto....
$ -int cosx/(senx)*1/(senx+1) dx $ ===== $ -int cosx/(sen^2x+senx) dx $ pongo $ senx=t $ e $ dx cosx=dt $
ed ho
$ -int dt/(t^2+t ) $ non serve a niente fare cosi!?
il secondo è giusto...esattamente come ti ho detto...ora scomponi per fratti semplici
$ A/t+B/(t+1 $[/quote]
ok ok ci sono arrivato mi esce questo....
$At+A+Bt=1$ ===== $A=1,B=-1$ risolvendo integrali e stando attenti ai segni mi esce
$-logt+logt+1$ ====$-log(senx)+log(senx+1)$==== $log((senx+1)/(senx))$
"guardiax":No
alla fine mi esce $2log|u+2|=...=2log|sqrt(sen^2x)+2|$ fatto bene!?
"tommik":
ora vediamo anche di capire PERCHE' sostituiamo x= tany quando abbiamo un'espressione del tipo $ sqrt(x^2+1 $
prendiamo un triangolo rettangolo di cateti 1 e x. L'ipotenusa sara evidentemente $ sqrt(x^2+1 $ e, per uno dei teoremi trigonometrici sui triangoli sappiamo che un cateto è uguale all'altro cateto per la tangente dell'angolo opposto al primo....di conseguenza, esprimendo in termini formali quanto appena enunciato sarà:
$ x=1tantheta $
...da cui l'evidente sostituzione
è sufficientemente chiaro?
mmmmmm ok ora ho capito del perchè della sotituzione di come esce alla fine della sostituzione ma perchè $sqrt(tan^2y+1)$diventa $sqrt(d/(dx)tan^2y)$perchè $1$ si toglie?!
"Gi8":No[/quote]
[quote="guardiax"]alla fine mi esce $2log|u+2|=...=2log|sqrt(sen^2x)+2|$ fatto bene!?
$2log|sqrt(senx)+2|$ volevo scrivere questo
Sì, la soluzione è $2 log (sqrt(sinx) +2)+c$ (il valore assoluto si può togliere, dal momento che l'argomento è positivo)
"Gi8":
Sì, la soluzione è $2 log (sqrt(sinx) +2)+c$ (il valore assoluto si può togliere, dal momento che l'argomento è positivo)
ok uno l'ho fatto l'altro lo sto facendo mi manca quello con i fratti vedete se ho fatto bene.... io non mi trovo col risultato
"guardiax":
mmmmmm ok ora ho capito del perchè della sotituzione di come esce alla fine della sostituzione ma perchè $sqrt(tan^2y+1)$diventa $sqrt(d/(dx)tany)$perchè $1$ si toglie?!
non è che si toglie nulla....
allora, cominciamo dall'inizio.....
la derivata di tanx si può esprimere in 3 modi:
$ d/dxtanx=1/cos^2x=sec^2x=tan^2x+1$
l'ugualglianza fra queste relazioni la puoi controllare e dimostrare facilmente facendo i conti da solo...
a questo punto è chiara la sostituzione che ho fatto.... o no?
si
...il risultato del secondo integrale è GIUSTO!!
per completarne l'analisi occorrerebbe calcolare la derivata e vedere se otteniamo di nuovo l'integranda:
$ d/dxlog((1+sinx)/sinx)=(cosxsinx-(1+sinx)cosx)/sin^2xsinx/(1+sinx)=(cosxsinx-cosx-cosxsinx)/(sinx(1+sinx))=-cotx/(1+sinx)$
"guardiax":
mmmmmm ok ora ho capito del perchè della sotituzione
ora, dato che hai capito, con lo stesso ragionamento dovresti saper identificare che tipo di sostituzioni vadano fatte nei casi più generali, ovvero:
$ sqrt(x^2-a^2 $
$ sqrt(x^2+a^2$
$ sqrt(a^2-x^2$
cioè prendendo in cosniderazione il triangolo rettangolo...
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