Iniettività,suriettività,biettività e funzione inversa?
Salve!
Ho un serio problema e ancora nessuno è riuscito a spiegarmelo in maniera esaustiva
: come faccio a capire, presa una funzione qualsiasi, che questa sia iniettiva, suriettiva o biettiva?
Ho studiato le definizioni ma come si passa dalla teoria alla pratica per me è un mistero.
Per esempio:
la funzione $ y = x^3 + x + log(x) $
come si nota se è iniettiva, suriettiva o biettiva? Perchè da questa dovrei trovare la funzione inversa.
Ringrazierò tutti coloro che una volta per tutte mi spiegheranno (spero) un procedimento.
Ho un serio problema e ancora nessuno è riuscito a spiegarmelo in maniera esaustiva
: come faccio a capire, presa una funzione qualsiasi, che questa sia iniettiva, suriettiva o biettiva?Ho studiato le definizioni ma come si passa dalla teoria alla pratica per me è un mistero.
Per esempio:
la funzione $ y = x^3 + x + log(x) $
come si nota se è iniettiva, suriettiva o biettiva? Perchè da questa dovrei trovare la funzione inversa.
Ringrazierò tutti coloro che una volta per tutte mi spiegheranno (spero) un procedimento.
Risposte
Cominciamo dal dominio. La funzione [tex]f(x)= x^3+x+\log(x)[/tex] per quali valori è definita?
Nel dominio la funzione è monotona?
Se la risposta alla domanda precedente è sì, ciò cosa comporta?
E' possibile esprimere la funzione inversa, se esiste, in forma chiusa?
Proviamo a rispondere a queste domande prima
Nel dominio la funzione è monotona?
Se la risposta alla domanda precedente è sì, ciò cosa comporta?
E' possibile esprimere la funzione inversa, se esiste, in forma chiusa?
Proviamo a rispondere a queste domande prima
"Mathematico":
Cominciamo dal dominio. La funzione [tex]f(x)= x^3+x+\log(x)[/tex] per quali valori è definita?
Nel dominio la funzione è monotona?
Se la risposta alla domanda precedente è sì, ciò cosa comporta?
E' possibile esprimere la funzione inversa, se esiste, in forma chiusa?
Proviamo a rispondere a queste domande prima
1)Quindi il dominio è $x>0$ per via del logaritmo. ----> $ x in RR^+$
2) il logaritmo è una funzione crescente quindi poichè i primi 2 sono dei polinomi ....la funzione dovrebbe essere monotona crescente.
"E' possibile esprimere la funzione inversa, se esiste, in forma chiusa?" Beh, innanzitutto non so cosa sia la forma chiusa.... e seconda cosa è la domanda che mi sto ponendo pure io..eheh
Ok per le prime due ma la terza? 
Per la 4) domanda con l'espressione "esprimere in forma chiusa qualcosa" intendo dire "scrivere quel qualcosa con un numero finito di operazioni (somma prodotto) di funzioni elementari (seno, coseno, etc)"
Per la 4) domanda con l'espressione "esprimere in forma chiusa qualcosa" intendo dire "scrivere quel qualcosa con un numero finito di operazioni (somma prodotto) di funzioni elementari (seno, coseno, etc)"
"Mathematico":
Ok per le prime due ma la terza?
Per la 4) domanda con l'espressione "esprimere in forma chiusa qualcosa" intendo dire "scrivere quel qualcosa con un numero finito di operazioni (somma prodotto) di funzioni elementari (seno, coseno, etc)"
oops ho dimenticato la terza
Se è crescente la funzione dovrebbe essere iniettiva o mi sbaglio?
4) se è iniettiva dovrebbe essere invertibile....Ora io non ho capito bene una cosa...quando mi devo ricavare la funzione inversa...devo sostituire alla x la y e viceversa oppure dalla funzione data devo ricavarmi la x in funzione di y? Perchè a molti ho visto fare entrambe le cose e quindi non sò quale metodo applicare..
Nel dominio la funzione è biettiva perchè strettamente crescente, dunque invertibile
Per quanto riguarda la tua domanda, il procedimento è lo stesso, l'importante è non commettere errori.
Data
[tex]y= f(x)[/tex]
•scrivono [tex]x= f(y)[/tex] e poi risolvono rispetto ad y ottenendo una funzione [tex]y= g(x)[/tex] e poi dicono che g è l'inversa di f.
Oppure
•risolvono rispetto ad x l'equazione [tex]y= f(x)[/tex], ottenendo [tex]x= g(y)[/tex] dopodichè cambiano i ruoli ad x ed y. Dipende da come lo hanno insegnato a te
Un' ultima cosa: dal tuo esempio non è possibile determinare esplicitamente l'inversa, sappiamo che essa esiste ma non riusciamo a scriverla in forma chiusa
Per quanto riguarda la tua domanda, il procedimento è lo stesso, l'importante è non commettere errori.
Data
[tex]y= f(x)[/tex]
•scrivono [tex]x= f(y)[/tex] e poi risolvono rispetto ad y ottenendo una funzione [tex]y= g(x)[/tex] e poi dicono che g è l'inversa di f.
Oppure
•risolvono rispetto ad x l'equazione [tex]y= f(x)[/tex], ottenendo [tex]x= g(y)[/tex] dopodichè cambiano i ruoli ad x ed y. Dipende da come lo hanno insegnato a te
Un' ultima cosa: dal tuo esempio non è possibile determinare esplicitamente l'inversa, sappiamo che essa esiste ma non riusciamo a scriverla in forma chiusa
"Mathematico":
Nel dominio la funzione è biettiva perchè strettamente crescente, dunque invertibile
Ecco la cosa che non capisco è come fai a dire che è biettiva....come si capisce che è suriettiva?
Il fatto che la funzione sia monotona crescente, inoltre [tex]f((0, +\infty))=\mathbb{R}[/tex] di conseguenza ti assicura sia l'iniettività che la suriettività e dunque l'invertibilità
[edit]:Quello che voglio intendere è che l'immagine della funzione coincide con il codominio.
[edit]:Quello che voglio intendere è che l'immagine della funzione coincide con il codominio.
"Mathematico":
Il fatto che la funzione sia monotona crescente, inoltre [tex]f((0, +\infty))=\mathbb{R}[/tex] di conseguenza ti assicura sia l'iniettività che la suriettività e dunque l'invertibilità
[edit]:Quello che voglio intendere è che l'immagine della funzione coincide con il codominio.
Praticamente siccome per il dominio $x >0$ allora il codominio sarà in $(0 ,+ infty) $ . poichè le immagini di f cadono pure in tale intervallo, allora f è suriettiva? E' da intendere in questo modo?
"qwerty90":
Praticamente siccome per il dominio $x >0$ allora il codominio sarà in $(0 ,+ infty) $ . poichè le immagini di f cadono pure in tale intervallo, allora f è suriettiva? E' da intendere in questo modo?
Il codominio della funzione f non è [tex](0, +\infty)[/tex] ma [tex](-\infty, +\infty)= \mathbb{R}[/tex] lo puoi vedere facilmente facendo i limiti per [tex]x\to 0[/tex] e [tex]x\to +\infty[/tex]
Il codominio è quello lì e l'insieme delle immagini come lo vedo?
Mmm probabilmente non sono stato molto chiaro, ma cerco di rimediare. Ricordiamo innanzitutto che una funzione [tex]f:X\subseteq\mathbb{R}\to Y\subseteq\mathbb{R}[/tex] è invertibile se e solo se [tex]f[/tex] è iniettiva su [tex]X[/tex], ovvero se [tex]f[/tex] considerata da [tex]X[/tex] in [tex]f(X)[/tex] è biettiva.
In questo caso stavamo cercando di capire se la funzione [tex]f(x)= x^3+x+\log(x)[/tex] è invertibile nel dominio [tex]D=\left\{x\in\mathbb{R}: x>0\right\}[/tex]. Abbiamo detto che [tex]f[/tex] è iniettiva poichè è monotona crescente in [tex]D[/tex], dunque è una biezione tra l'insieme [tex]D[/tex] e l'insieme delle immagini [tex]f(D)[/tex], ma [tex]f(D) = \mathbb{R}[/tex], dunque la funzione [tex]f:D\to\mathbb{R}[/tex] è invertibile.
____
Con [tex]f(D)[/tex] indico l'insieme delle immagini (o immagine di D tramite f), cioè l'insieme:
[tex]f(D):= \left\{y\in Y: \exists x\in D \text{ tale che } f(x) = y\right\}[/tex]
In questo caso stavamo cercando di capire se la funzione [tex]f(x)= x^3+x+\log(x)[/tex] è invertibile nel dominio [tex]D=\left\{x\in\mathbb{R}: x>0\right\}[/tex]. Abbiamo detto che [tex]f[/tex] è iniettiva poichè è monotona crescente in [tex]D[/tex], dunque è una biezione tra l'insieme [tex]D[/tex] e l'insieme delle immagini [tex]f(D)[/tex], ma [tex]f(D) = \mathbb{R}[/tex], dunque la funzione [tex]f:D\to\mathbb{R}[/tex] è invertibile.
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Con [tex]f(D)[/tex] indico l'insieme delle immagini (o immagine di D tramite f), cioè l'insieme:
[tex]f(D):= \left\{y\in Y: \exists x\in D \text{ tale che } f(x) = y\right\}[/tex]
ok grazie mille
"Mathematico":
[quote="qwerty90"]
Praticamente siccome per il dominio $x >0$ allora il codominio sarà in $(0 ,+ infty) $ . poichè le immagini di f cadono pure in tale intervallo, allora f è suriettiva? E' da intendere in questo modo?
Il codominio della funzione f non è [tex](0, +\infty)[/tex] ma [tex](-\infty, +\infty)= \mathbb{R}[/tex] lo puoi vedere facilmente facendo i limiti per [tex]x\to 0[/tex] e [tex]x\to +\infty[/tex][/quote]
Non volevo aprire altri post, dato che ho lo stesso problema, solo che (almeno sul mio libro di analisi) non parla proprio di far limiti agli estremi del dominio di partenza .... potete spiegarmi perchè si fa?
Si può provare anche senza far i limiti?
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