Iniettività, surgettività

[Corleonese]

Salve, sto risolvendo alcuni esercizi sulle funzioni piuttosto insidiosi riguardo all'iniettività, alla surgettività e bigettività, quello che vi chiedo non è tanto un modo di risoluzione standard quanto il modo in cui approcciarsi a questo tipo di esercizi. Ad esempio:

La funzione $f : RR^2 -> RR^2$ con $(x,y)\mapsto (2x+6y,x+3y)$

è iniettiva, surgettiva, bigettiva?

Come risolvete un esercizio di questo tipo? Che ragionamenti fate? E soprattutto c'è anche un modo informale per risolvere l'esercizio senza mettersi a trovare dei controesempi (nel caso dell'iniettività ad esempio)?

[Alexp1]

Per verificare l'iniettività puoi provare ad utilizzare la matrice Jacobiana.....il th di inversione locale dice (in "soldoni") che se lo jacobiano non è nullo in un punto $p$ allora la funzione è sicuramente invertibile localmente in $p$.

Quindi se tu provando a verificare lo jacobiano trovi che questo è nullo ovunque, allora non puoi sperare nemmeno in un risultato locale e dunque tanto meno globale!

Altrimenti più concretamente, potresti provare a cercare punti $(x,y)$ per i quali si ottiene la stessa immagine, impostando un sistema.

[robbstark1]

Per l'iniettività si considerano due punti $(x_1, y_1)$ e $(x_2, y_2)$, quindi imposti un sistema uguagliando le immagini dei due punti:
${(2x_1 + 6y_1 = 2x_2 + 6y_2), (x_1 +3y_1 = x_2 + 3y_2):}$
Se viene fuori che necessariamente
${(x_1 = x_2), (y_1 =y_2):}
hai provato che è iniettiva, se no fai notare (eventualmente con esempio) che non lo è.

Per la suriettività fai vedere che, preso un punto a caso $(u, v)$ riesci a trovare la coppia $(x, y)$ tale che $f(x,)=(u,v)$, impostando il sistema
{(2x+6y=u),(x+3y=v):}
Se trovi che $u$ è vincolata a $v$, la funzione non è suriettiva.

Questi sono i metodi generali, qui puoi usare una scorciatoia, osservando che $f(x,y)=(u,2u)$, per cui non è suriettiva.

[Corleonese]

Vi ringrazio, allora provo a lavorare su questi due metodi. Grazie della dritta ed incrocio le dita! Thank you so much!

[miuemia]

Credo che in questo caso non ci sia bisogno di scomodare lo Jacobiano....infatti f è lineare quindi basta scrivere la matrice associata ad f e studiarne rango. fine!
in questo caso come faceva osservare robbstack sicuramente non è iniettiva in quanto $2x+6y=2(x+3y)$ e dunque non può neanche essere suriettiva!

ciao a tutti

[Alexp1]

Ciao "miuemia", si hai ragione, ma ho tirato in ballo lo jacobiano semplicemetne perchè in questo caso essendo la matrice jacobiana $\|(2,1),(6,3)|$ si vede subito che ha determinate sempre nullo , dunque non può essere iniettiva.

[dissonance]

"miuemia":Credo che in questo caso non ci sia bisogno di scomodare lo Jacobiano....infatti f è lineare quindi ...

Beh si, ma è solo un fatto di linguaggio. Per una funzione $RR^n\toRR^n$ lineare il determinante Jacobiano coincide con il determinante della funzione (cioè il determinante di una qualsiasi matrice associata). Una possibile maniera per risolvere l'esercizio (quella che avrei scelto io) è:
Osserviamo che $f$ è una applicazione lineare di $RR^2$ in sé stesso. Una sua rappresentazione mediante matrice è $((2, 1), (6, 3))$. Questa matrice ha determinante nullo quindi la funzione $f$ non è ingettiva e neanche surgettiva, visto che per funzioni lineari tra spazi della stessa dimensione finita le due nozioni coincidono.