Iniettività sin(n)
Ciao,
non capisco come la funzione $ sin(n) $ sia iniettiva definita $ N \rightarrow R $
Cioè se ad esempio prendo $ n1 = 40 $ e $ n2 = 140 $ ho gli stessi valori della funzione, no?
Questo $ n1= pi - n2 +2kpi $ , non mi dice che la funzione non è iniettiva? Cioè i due valori che ho scritto prima come esempio sono $ \in N $
Mi sfugge qualcosa... grazie per il chiarimento
non capisco come la funzione $ sin(n) $ sia iniettiva definita $ N \rightarrow R $
Cioè se ad esempio prendo $ n1 = 40 $ e $ n2 = 140 $ ho gli stessi valori della funzione, no?
Questo $ n1= pi - n2 +2kpi $ , non mi dice che la funzione non è iniettiva? Cioè i due valori che ho scritto prima come esempio sono $ \in N $
Mi sfugge qualcosa... grazie per il chiarimento
Risposte
Certamente ti sfugge qualcosa, perché \(\sin 40\approx 0.745113\) e \(\sin 140\approx 0.98024\), sicché...
Il punto è che puoi caratterizzare completamente l'insieme degli zeri di sin come \(\mathbb Z\pi\), e poi ragionare dicendo che se ci fossero due interi \(p,q\) con la proprietà che \(\sin p = \sin q\), allora (data la formula di sottrazione del seno), \(\cos\left(\frac{p+q}{2}\right)\sin\left(\frac{p-q}{2}\right)=0\), il che implicherebbe che almeno uno di questi due fattori sia zero; se questo fosse vero per $p\ne q$, \(\pi\) sarebbe razionale. Questo è assurdo.
Il punto è che puoi caratterizzare completamente l'insieme degli zeri di sin come \(\mathbb Z\pi\), e poi ragionare dicendo che se ci fossero due interi \(p,q\) con la proprietà che \(\sin p = \sin q\), allora (data la formula di sottrazione del seno), \(\cos\left(\frac{p+q}{2}\right)\sin\left(\frac{p-q}{2}\right)=0\), il che implicherebbe che almeno uno di questi due fattori sia zero; se questo fosse vero per $p\ne q$, \(\pi\) sarebbe razionale. Questo è assurdo.
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