Iniettività e surgettività

[zio_mangrovia]

Come posso dimostrare che questa funzione NON è né iniettiva né surgettiva considerando che è definita nell'intervallo $f: (2,10]\to RR$ ?

$xe^(-x/e)$

per l'iniettività ho provato a fare un'uguaglianza tra :

$x_1e^(-x_1/e)=x_2e^(-x_2/e)$ ma non mi tornano i calcoli, dovrei ottenere per valori diversi di $x_1$ e $x_2$ lo stesso valore di $y$.

Il discorso surgettività lo giustifico dicendo che $e^(-x/e)$ è una funzione positiva (esponenziale) pertanto il segno della funzione dipende da $x$ ma essendo la funzione $f(x)$ definita in $(2,10]$ cioè da valori positivi, il segno di $f(x)$ è positivo.
Pertanto la funzione non assume nessun valore negativo però ha come condominio i Reali. Corretto?

[feddy]

Non dovrebbe nemmeno troppo difficile da disegnare tale funzione. Evidentemente non è suriettiva: per $bar(y)>1$ non esiste alcun $x \in D$ tale che $f(x)=bar(y)$. Anche la tua osservazione è corretta per la suriettività.

Per l'iniettività dovresti avere che $x_1e^(-x_1/e)=x_2e^(-x_2/e)$ $=>$ $x_1=x_2$. Ma questo non è necessario: un rapido studio della derivata prima mostra che la funzione ha massimo in $x=e$ e per $xe$ è decrescente. Restringendoci a $D$: $2

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[zio_mangrovia]

Quindi per la surgettività dovrei per dimostrare che non esiste alcun valore di $y>1$ che soddisfa la mia funzione, dovrei calcolare la derivata prima con i relativi valori in cui si annulla, studiarne il segno e capire poi quale comportamento ha la funzione agli estremi dell'intervallo. Una volta asserito che c'e' un massimo o minimo assoluto posso dire che non è surgettiva.
Corretto?
Per l'iniettività vorrei ben comprendere quale sia il teorema della continuità perché se guardo il grafico il tuo concetto non fa una virgola ma ho difficoltà a capire quale sia il teorema della continuità applicato. Ok il fatto che esista un massimo dove la funzione subito prima è crescente e subito dopo decrescente e questo fa si che ci siano valori della stessa $y$ generati da due "x" diversi.

[feddy]

Per mostrare che non è suriettiva basta trovare un controesempio: io nel post sopra ne ho trovato "infiniti" (nel senso che ogni $y>1$ non ha controimmagine. Questo lo deduci dallo studio della funzione.

Per qanto riguarda quello che tu chiami "teorema della continutà", in sostanza intendevo dire che la funzione lì è continua, non fa "salti" e non ha "buchi", quindi quei due punti esistono