Informazioni sul significato di derivata
Ciao, volevo avere un chiarimento sul concetto di derivata. PRATICAMENTE, la derivata in un determinato punto x0 è un numero che permette di sapere qual è il coefficiente angolare istantaneo della retta tangente in quel punto. Ma TEORICAMENTE, per stare in piedi, il concetto di derivata necessita che quella retta tangente alla funzione passi per due punti vicinissimi tra loro, perchè una retta passa solo per due punti, mentre per un punto passano infinite rette (e quindi non avrebbe senso). Quindi il limite per h che tende a 0 del rapporto incrementale nella maggior parte dei casi esiste, però se io voglio sapere ESATTAMENTE la derivata della funzione in un preciso punto, questo mi è impossibile o sbaglio? Spero abbiate capito quello che voglio dire
Risposte
Quello che voglio dire è che mentre nel concetto di limite ha senso (TALVOLTA) parlare di "valore assunto dalle ordinate di f quando esse SI AVVICINANO ad un valore fissato, e valore assunto dalle ordinate di f nell'ascissa corrispondente al valore limite" (continuità della funzione), nel caso del concetto di derivata, si può solo parlare di "retta tangente a f quando l'intervallino deltax diventa sempre più piccolo, ma non quando l'intervallino deltax è 0, perchè dire che esso è 0 sarebbe impossibile poichè per un punto passerebbero infinite rette e quindi dire derivata non avrebbe senso."
la risposta sta nella tua domanda, anche se capisco che fai fatica a digerirla.
fatto sta che la derivata è DEFINITA come limite del rapporto incrementale per $x \to x_0$ , quindi quel limite è esattamente la derivata della funzione in quel punto. e d'altro canto tu non puoi sostituire brutalmente x0 al posto di x, perchè l'argomento del limite è una funzione non definita proprio in $x_0$ (invece potresti farlo se l'argomento fosse una funzione ivi definita e continua). quello che davvero importa è che quando l'incremento della x tende a 0 (nessuno ha detto che sia nullo!), ottieni il coefficiente angolare della retta tangente. "tendere a" non significa "essere", ma più semplicemente "stare in un intorno opportuno di".
fatto sta che la derivata è DEFINITA come limite del rapporto incrementale per $x \to x_0$ , quindi quel limite è esattamente la derivata della funzione in quel punto. e d'altro canto tu non puoi sostituire brutalmente x0 al posto di x, perchè l'argomento del limite è una funzione non definita proprio in $x_0$ (invece potresti farlo se l'argomento fosse una funzione ivi definita e continua). quello che davvero importa è che quando l'incremento della x tende a 0 (nessuno ha detto che sia nullo!), ottieni il coefficiente angolare della retta tangente. "tendere a" non significa "essere", ma più semplicemente "stare in un intorno opportuno di".
tutto chiaro grazie
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