Informazioni Integrale con funzioni razionali
Forse non è il forum giusto, ma sto studiando gli integrali indefiniti esattamente le funzioni razionali e sto avendo problemi quando $b^2 -4ac < 0$ perchè il mio professore non è stato chiaro.
Esiste un sito dove viene riportato il procedimento di risoluzione perchè ci sono stato una giornata intera ma non capisco cosa si inglobi e cosa no.. boh?!?
ciao e grazie per l'eventuale aiuto
Esiste un sito dove viene riportato il procedimento di risoluzione perchè ci sono stato una giornata intera ma non capisco cosa si inglobi e cosa no.. boh?!?
ciao e grazie per l'eventuale aiuto
Risposte
Immagino che ti riferisci all'integrazione di funzioni razionali del tipo $ int dx/(ax^2+bx+c) $ .
Se il trinomio $ ax^2+bx+c $ non ha radici reali ($Delta < 0 $ ) allora :
* $ ax^2+bx+c $ è sempre positivo se $ a > 0 $ [ pensa al grafico della parabola corrispondente ]
* $ ax^2 +bx +c $ è sempre negativo se $ a < 0 $ .
Consideriamo il primo caso a cui ci si può sempre ricondurre eventualmente raccogliendo il segno meno a denominatore.
Il trinomio è allora esprimibile come somma di quadrati .
Come ? Un esempio spiega meglio di tutto :
Considero il trinomio : $ x^2 +2x+7 $ che riscrivo : $ (x+1) ^2 -1 +7 = ( x+1)^2 +(sqrt(6))^2 $
[ se fosse stato : $ x^2+x+3 $ si sarebbe modificato in $ (x+1/2)^2+11/4 = (x+1/2)^2+(sqrt(11)/2)^2 $ ].
L' integrale originale diventa : $ int dx/[(x+1)^2+(sqrt(6))^2] $
; a questo punto conviene raccogliere $ (sqrt(6))^2 $ in modo da far apparire $ 1+.. $.
Si avrà così : $(1/6)* int dx/[1 +((x+1)/sqrt(6)) ^2] $ e adesso è un integrale quasi immediato ..[ arctg...].
Se il trinomio $ ax^2+bx+c $ non ha radici reali ($Delta < 0 $ ) allora :
* $ ax^2+bx+c $ è sempre positivo se $ a > 0 $ [ pensa al grafico della parabola corrispondente ]
* $ ax^2 +bx +c $ è sempre negativo se $ a < 0 $ .
Consideriamo il primo caso a cui ci si può sempre ricondurre eventualmente raccogliendo il segno meno a denominatore.
Il trinomio è allora esprimibile come somma di quadrati .
Come ? Un esempio spiega meglio di tutto :
Considero il trinomio : $ x^2 +2x+7 $ che riscrivo : $ (x+1) ^2 -1 +7 = ( x+1)^2 +(sqrt(6))^2 $
[ se fosse stato : $ x^2+x+3 $ si sarebbe modificato in $ (x+1/2)^2+11/4 = (x+1/2)^2+(sqrt(11)/2)^2 $ ].
L' integrale originale diventa : $ int dx/[(x+1)^2+(sqrt(6))^2] $
; a questo punto conviene raccogliere $ (sqrt(6))^2 $ in modo da far apparire $ 1+.. $.
Si avrà così : $(1/6)* int dx/[1 +((x+1)/sqrt(6)) ^2] $ e adesso è un integrale quasi immediato ..[ arctg...].
questo è quello che ho studiato io l'altro ieri, concludendo l'argomento 'integrali indefiniti'. quando la frazione ha un denominatore quadratico irriducibile. si cerca di ricondurre alla derivata dell'arcotangente esempio:
$int1/(ax^2+bx+c)dx$ con $b^2-4ac<0$. sappiamo che un polinomio con $Delta<0$ può essere scomposto come la somma di un quadrato di un binomio e un numero positivo:
$a(x^2+b/ax+c/a)rArra(x^2+b/ax+b^2/(4a^2)-b^2/(4a^2)+c/a)rArra((x+b/(2a))^2+(4ac-b^2)/(4a^2))$
allora:
$int1/(ax^2+bx+c)dx=int1/(a((x+b/(2a))^2+(4ac-b^2)/(4a^2)))dx=int1/((4ac-b^2)/(4a)(((2ax+b)/(2a)*sqrt((4a)/(4ac-b^2)))^2+1))dx=(4a)/(4ac-b^2)*1/(D[(2ax+b)/(2a)*sqrt((4a)/(4ac-b^2))])int(D[(2ax+b)/(2a)*sqrt((4a)/(4ac-b^2))])/(((2ax+b)/(2a)*sqrt((4a)/(4ac-b^2)))^2+1)dx=(4a)/(4ac-b^2)*1/(D[(2ax+b)/(2a)*sqrt((4a)/(4ac-b^2))])arctan(((2ax+b)/(2a)*sqrt((4a)/(4ac-b^2)))
ovviamente la derivata dell'argomento dell'arcotangente deve essere una costante
$int1/(ax^2+bx+c)dx$ con $b^2-4ac<0$. sappiamo che un polinomio con $Delta<0$ può essere scomposto come la somma di un quadrato di un binomio e un numero positivo:
$a(x^2+b/ax+c/a)rArra(x^2+b/ax+b^2/(4a^2)-b^2/(4a^2)+c/a)rArra((x+b/(2a))^2+(4ac-b^2)/(4a^2))$
allora:
$int1/(ax^2+bx+c)dx=int1/(a((x+b/(2a))^2+(4ac-b^2)/(4a^2)))dx=int1/((4ac-b^2)/(4a)(((2ax+b)/(2a)*sqrt((4a)/(4ac-b^2)))^2+1))dx=(4a)/(4ac-b^2)*1/(D[(2ax+b)/(2a)*sqrt((4a)/(4ac-b^2))])int(D[(2ax+b)/(2a)*sqrt((4a)/(4ac-b^2))])/(((2ax+b)/(2a)*sqrt((4a)/(4ac-b^2)))^2+1)dx=(4a)/(4ac-b^2)*1/(D[(2ax+b)/(2a)*sqrt((4a)/(4ac-b^2))])arctan(((2ax+b)/(2a)*sqrt((4a)/(4ac-b^2)))
ovviamente la derivata dell'argomento dell'arcotangente deve essere una costante
Grazie 1000 ragazzi siete fantastici, davvero!!!
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