Informazioni circa risoluzione serie di funzioni
Salve, ho da proporvi questo esercizio sulle serie di funzioni, spero possiate delucidarmi in merito:
L'esercizio dice:
Studiare la convergenza puntuale, assoluta, uniforme e totale della serie di funzioni:
\(\displaystyle \sum (-1)^{n} [ \frac{ln(1+x^{2n})}{n+3}] \) (con \(\displaystyle n \) che va da 1 a \(\displaystyle + \infty \) e con \(\displaystyle x \in R \))
Allora, essendo \(\displaystyle x \in R \) , ho considerato i casi, per la convergenza puntuale, \(\displaystyle x=0 \) e \(\displaystyle |x| =/= 0 \).
Per \(\displaystyle x = 0 \) la serie ha la forma del tipo \(\displaystyle (-1)^{n} [ \frac{ln(1)}{n+3}] \) che quindi è uguale a zero, e dunque converge.
Per \(\displaystyle |x| =/= 0 \), osservo che è una serie di termini oscillanti, quindi applico il cretierio di Leibniz:
verifico che il limite per \(\displaystyle n -> + \infty \) è uguale a zero e che la serie è decrescente.
Trovo che il lim è uguale a zero quando \(\displaystyle x \in (-1, 1) \) [sono poi stato corretto e mi hanno portato a notare che anche negli estremi è verificato], la successione associata è palesemente decrescente, quindi converge puntualmente per Leibniz in \(\displaystyle [-1, 1] \) (in \(\displaystyle x=0 \) l'abbiamo precedentemente verificato).
Ho poi considerato la covergenza assoluta trovando che la serie di partenza, essendo a termini positivi, può essere asintoticamente vista come una serie di potenze del tipo \(\displaystyle \sum \frac {x^{2n}}{n+3} \) che converge in \(\displaystyle [-1,1] \). Quindi nell'intervallo converge anche assolutamente.
In fine ho studiato la convergenza uniforme e totale, applicando il criterio di Weistrass e qui mi è stato palesato un errore che non pensavo fosse tale, come procedimento.
Allora, ho usato il creterio di weistrass:
Ho considerato \(\displaystyle ||fn|| \infty = sup |fn| \); in questo caso il \(\displaystyle sup |fn| \) è uguale a \(\displaystyle sup |(-1)^{n} [ \frac{ln(1+x^{2n})}{n+3}]| \) che io ho posto essere minore di \(\displaystyle sup | \frac {x^{2n}}{n+3}| \) [mi è stato poi fatto notare che bastava semplicemente trovare il sup effettivo di quella di partenza]; In particolare, in virtù della minoranza fissata che converge in quanto è proprio la serie di potenze della già provata convergenza assoluta, concludo affermando che la serie di partenza converge totalemente e quindi uniformemente in \(\displaystyle [-1, 1] \) per Weistrass (io realtà ho posto in \(\displaystyle (-1,1) \), dato che non avevo considerato per sbaglio gli estremi non li ho considerati).
Ora, vorrei capire: nel passaggio fatto per calcolare la convergenza totale, è sbagliato applicare quella disugaglianza? In molti esercizi fatti (già svolti), ho visto che un passaggio del genere era lecito ma la prof. me l'ha corretto dicendo che si doveva trovare il sup del valore assoluto della fn di partenza. Potete spiegarmi il perché?
L'esercizio dice:
Studiare la convergenza puntuale, assoluta, uniforme e totale della serie di funzioni:
\(\displaystyle \sum (-1)^{n} [ \frac{ln(1+x^{2n})}{n+3}] \) (con \(\displaystyle n \) che va da 1 a \(\displaystyle + \infty \) e con \(\displaystyle x \in R \))
Allora, essendo \(\displaystyle x \in R \) , ho considerato i casi, per la convergenza puntuale, \(\displaystyle x=0 \) e \(\displaystyle |x| =/= 0 \).
Per \(\displaystyle x = 0 \) la serie ha la forma del tipo \(\displaystyle (-1)^{n} [ \frac{ln(1)}{n+3}] \) che quindi è uguale a zero, e dunque converge.
Per \(\displaystyle |x| =/= 0 \), osservo che è una serie di termini oscillanti, quindi applico il cretierio di Leibniz:
verifico che il limite per \(\displaystyle n -> + \infty \) è uguale a zero e che la serie è decrescente.
Trovo che il lim è uguale a zero quando \(\displaystyle x \in (-1, 1) \) [sono poi stato corretto e mi hanno portato a notare che anche negli estremi è verificato], la successione associata è palesemente decrescente, quindi converge puntualmente per Leibniz in \(\displaystyle [-1, 1] \) (in \(\displaystyle x=0 \) l'abbiamo precedentemente verificato).
Ho poi considerato la covergenza assoluta trovando che la serie di partenza, essendo a termini positivi, può essere asintoticamente vista come una serie di potenze del tipo \(\displaystyle \sum \frac {x^{2n}}{n+3} \) che converge in \(\displaystyle [-1,1] \). Quindi nell'intervallo converge anche assolutamente.
In fine ho studiato la convergenza uniforme e totale, applicando il criterio di Weistrass e qui mi è stato palesato un errore che non pensavo fosse tale, come procedimento.
Allora, ho usato il creterio di weistrass:
Ho considerato \(\displaystyle ||fn|| \infty = sup |fn| \); in questo caso il \(\displaystyle sup |fn| \) è uguale a \(\displaystyle sup |(-1)^{n} [ \frac{ln(1+x^{2n})}{n+3}]| \) che io ho posto essere minore di \(\displaystyle sup | \frac {x^{2n}}{n+3}| \) [mi è stato poi fatto notare che bastava semplicemente trovare il sup effettivo di quella di partenza]; In particolare, in virtù della minoranza fissata che converge in quanto è proprio la serie di potenze della già provata convergenza assoluta, concludo affermando che la serie di partenza converge totalemente e quindi uniformemente in \(\displaystyle [-1, 1] \) per Weistrass (io realtà ho posto in \(\displaystyle (-1,1) \), dato che non avevo considerato per sbaglio gli estremi non li ho considerati).
Ora, vorrei capire: nel passaggio fatto per calcolare la convergenza totale, è sbagliato applicare quella disugaglianza? In molti esercizi fatti (già svolti), ho visto che un passaggio del genere era lecito ma la prof. me l'ha corretto dicendo che si doveva trovare il sup del valore assoluto della fn di partenza. Potete spiegarmi il perché?